¿Por qué esta forma cuadrática matricial es singular?

Question

Estoy leyendo un periódico y he visto:

$AFF^{H}A^{H}$ es singular, donde $A \in \mathbb{C}^{N\times M}$ , $F \in \mathbb{}^{M\times1}$ y $N > M$

Así que me pregunto por qué es así. Mi ingenua suposición es: Desde $FF^{H}$ está en $\mathbb{C}^{M\times M}$ , $AFF^{H}A^{H}$ tendrá un $M\times M$ submatriz no sinular, pero el resto de ellas ( $N-M$ ) será una combinación lineal de $M$ elementos.

Sin embargo, no estoy seguro de si mi suposición es correcta o no. Incluso si mi suposición es correcta, no está estrictamente definida. ¿Podría alguien mostrarme un camino correcto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $XX^H$ y $X^HX$ tienen el mismo rango. Entonces $AFF^HA^H$ tiene el mismo rango que $$ F^HA^HAF\leq\|A^HA\|\,F^HF, $$ y $F^HF$ es de rango uno.

Answer 2

Puede argumentar en términos de dimensiones y rango. La dimensión de la imagen de un producto de matrices nunca es mayor que el rango mínimo de cada factor. En el caso que nos ocupa parece que dices (pero hay un error de imprenta) que $F$ es de rango 1. Por lo tanto, el producto completo es como máximo de rango uno. En particular, hay como máximo un valor propio distinto de cero.