Semejanza de conjuntos estrictamente bien ordenados

Question

La pregunta en sí:

Dado un conjunto estrictamente ordenado $\langle A, < \rangle$ (< simplemente simboliza algún tipo de orden en este caso) que es denso, con un elemnto menor y mayor que no son iguales. Demostrar que si A es contable, entonces $\langle A, < \rangle$ es igual a $\langle Q \cap[0,1], < \rangle$ (en este último caso, < es el tipo de orden 'regular'>.

Dos conjuntos son semejantes entre sí si tienen el mismo tipo de orden, o si se puede demostrar que existe una función unívoca y unto que también mantiene el orden.

Ahora bien, he intentado abordar la cuestión desde varias direcciones, pero no he conseguido llegar a nada significativo. He intentado demostrar que ambos son iguales al mismo tipo de orden, pero no hay ningún tipo de orden al que se parezcan. Ambos están cerca de $\eta$ pero ambos tienen un primer y un último elemento, por lo que no son de ese tipo de orden, y no se me ocurre cómo demostrar que al ser ambos diferentes a ese tipo de orden de la misma manera, son parecidos. También he intentado buscar una función de ajuste, sin éxito ya que no sé qué tipo de orden hay en A.

Punto final, estoy atascado. Cualquier pista, sugerencia o idea será muy apreciada.

Answer 1

Si ya conoces el hecho de que todo orden denso contable sin puntos finales tiene tipo de orden $\eta$ entonces es fácil.

Obsérvese que un isomorfismo debe asignar puntos finales a puntos finales. Por lo tanto, $A\setminus\{\min A,\max A\}$ es isomorfo a $\Bbb Q\cap(0,1)$ y ambos son isomorfos a $\Bbb Q$ . Ahora bien, como el isomorfismo debe mapear $\min A$ a $0$ y $\max A$ a $1$ hemos terminado.