Asumiendo la definición de "Forma Cerrada" dada en la tabla de: Entrada de Wikipedia sobre la forma cerrada ¿Qué áreas suelen tener problemas que se expresan tradicionalmente de forma cerrada?
EDIT: Teniendo en cuenta el comentario de abajo sobre que sólo los problemas "fáciles" tienen soluciones de forma cerrada, ¿cambia esto si se consideran las formas cerradas analíticas?
La definición de una solución de forma cerrada, en particular lo que la gente acuerda llamar una función "elemental", está determinada culturalmente. Una determinada solución a un problema puede expresarse como una serie, o una integral, o algún otro límite, hasta que su uso frecuente hace que merezca la pena tener un nombre estándar. Así es como los logaritmos naturales se aceptaron como "elementales". Y dependiendo de tu campo de especialización, podrías aceptar o no los armónicos esféricos como funciones elementales. Mi favorita es la función "hiperradical" que mapea un número real $a$ a la única raíz real del polinomio $x^5+x+a.$ El polinomio general de quinto grado es resoluble en términos de operaciones algebraicas más la función hiperradical.
La enciclopedia original de Diderot y d'Alembert describe el debate sobre la definición de la palabra "curva". Tradicionalmente, dice el artículo, sólo se dice que las ecuaciones algebraicas describen curvas; pero esa definición no satisface a quienes se interesan, por ejemplo, por las espirales. Nosotros (es decir, presumiblemente d'Alembert) tendemos a suscribir ese punto de vista y aceptamos las ecuaciones diferenciales para definir también las curvas propiamente dichas. Sustituyendo la palabra "función elemental" por "curva propia", tenemos un debate muy similar.
Mi respuesta a tu pregunta, pues, es: los problemas y las soluciones se expresan tradicionalmente de forma cerrada si y sólo si un número suficiente de personas se interesa por ellos durante un periodo suficientemente largo. Se podría resumir en el adjetivo "fácil", pero para mí no cubre toda la historia.
Por cierto, el artículo de la Wikipedia está muy sesgado hacia el cálculo, pero problemas similares de definición surgen en la matemática discreta.
Las soluciones de forma cerrada son la excepción y no la regla. Son gotas en un océano de cálculos intrincados.
En el marco del álgebra/cálculo, tenemos
Ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones: sí, siempre (afortunadamente).
Ecuaciones algebraicas y sistemas de ecuaciones: no (con algunas excepciones, como las de segundo, tercer y cuarto grado).
Ecuaciones trascendentales: no.
Derivados: sí, siempre.
Antiderivadas y sumas: no (con excepciones como las fracciones racionales).
Integrales definidas: no (se conocen algunas decenas de casos resueltos sin antiderivadas).
Transformadas integrales (como la de Laplace o la de Fourier): no (las tablas cuentan con algunas decenas de entradas).
Ecuaciones diferenciales lineales y recurrencias lineales con coeficientes constantes: sí (pero para las raíces de la ecuación característica).
Ecuaciones diferenciales lineales o no lineales: no.
Ecuaciones diferenciales parciales: no.
(Cuando digo no, quiero decir en general; existen casos de forma cerrada, pero AFAIK son esporádicos y no hay una manera fácil de caracterizarlos).
Si se permiten secuencias/series infinitas, presumiblemente todos estos problemas pueden resolverse, invocando métodos numéricos. Al menos en teoría.
Mi definición de forma cerrada permite cambio de signo , adición , logaritmo , exponencial y composición de la función en los números complejos. (Indirectamente, la resta, la multiplicación, la división, la exponenciación, los polinomios, las fracciones racionales, las funciones trigonométricas e hiperbólicas y sus inversas). Esto coincide con la entrada de Wikipedia, con la excepción del factorial.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
