Demuestra que (a,b) a,b $\in Q$ es una base topológica en $ \mathbb{R} $ con la topología habitual.

Question

Demuestra que (a,b) a,b $\in Q$ es una base topológica en $ \mathbb{R} $ con la topología habitual.

Prueba: Tengo que demostrar que para cada $V \in T_{ \mathbb{R} }$ donde $T_{ \mathbb{R} }$ es la topología habitual en $ \mathbb{R} $ es una unión de $(a,b)\subset \mathbb{R} $ donde $a$ , $b$ $\in Q$ .

Así que $V=\bigcup_{i\in I} (x,y)$ ya que está abierto en $ \mathbb{R} $ .
Ahora tengo que demostrar $V=\bigcup_{k\in V}(a,b)$ $a$ , $b$ $\in Q$ .

Quiero utilizar el hecho de que $\overline Q=R$ lo que significa que por cada $x \in R$ cada barrio abierto $U_x \cap Q \neq \emptyset $ lo que significa que hay un $q \in Q$

$x-ε<q<x+ε$

Ahora no puedo usar ese hecho para demostrar que para cualquier elemento de un $(x,y)$ existe un (a,b) tal que $(a,b)\subset (x,y)$ y luego demostrar fácilmente que cualquier $V$ es en realidad la unión de $(a,b)$ .

******* quiero demostrar que es una base topológica solo de esta manera pero no quiero usar el análisis que significa tomar secuencias para demostrar que van en x,y y escribir (x,y)=unión infinita de puntos de secuencias de racionales.*****

Answer 1

En esencia, ya tienes la prueba:

Supongamos que $V$ está abierto. Dejemos que $x \in V$ . Esto significa que hay $a,b \in \mathbb{R}$ tal que $a < x < b$ y $(a,b) \subseteq V$ . Entonces $(a,x)$ es un intervalo abierto no vacío y, por tanto, interseca a $\mathbb{Q}$ (como $\mathbb{Q}$ ) es denso). Por lo tanto, hay algo de $q_1 \in \mathbb{Q}$ tal que $a < q_1 < x$ . Del mismo modo, tenemos $q_2 \in \mathbb{Q}$ tal que $x < q_2 < b$ . Así que $I_x:=(q_1, q_2)$ es un intervalo racional que contiene $x$ y tal que $(q_1, q_2) \subseteq (a,b) \subseteq V$ . A continuación, observe que $V = \bigcup\{ I_x: x \in V\}$ (todos los intervalos son subconjuntos de $V$ y también $x \in V$ es al menos en $I_x$ ). Así que $V$ es una unión de intervalos racionales.

La esencia es que la densidad de $\mathbb{Q}$ (y el hecho de que la orden sobre $\mathbb{R}$ no tiene huecos, por lo que $a < x$ implica $(a,x) \neq \emptyset$ ) implica que dentro de cada intervalo abierto que contiene $x$ tenemos un intervalo racional que contiene $x$ .