¿Existe una descripción completa de las ecuaciones de movimiento de dicho sistema? En particular, ¿cuáles serían el lagrangiano y el hamiltoniano de dicho sistema?
Depende de si se supone que las partículas son puntos o cuerpos cargados extendidos.
Si son cuerpos cargados extendidos, no se conoce, que yo sepa, un modelo único del sistema. El problema es que, debido a la relatividad, el cuerpo cargado no puede ser idealizado como un cuerpo rígido, sino que es un sistema con infinidad de grados de libertad, como una bola hecha de gelatina. Una descripción matemáticamente completa requeriría un modelo de movimiento y fuerzas internas mutuas entre las partes cargadas de la partícula. No tenemos ningún modelo convincente al respecto. Hay algunos trabajos publicados que trabajan con un modelo más simplista, en el que el cuerpo cargado es un elipsoide muy regular que sufre poca o ninguna deformación (se citan a menudo Lorentz, Abraham, más recientemente Yaghijan y Medina) y son capaces de derivar algunas conclusiones al respecto, pero todos estos cálculos son de carácter aproximado.
Si las partículas cargadas son puntos, las partículas puntuales sólo tienen un puñado de grados de libertad y pueden describirse mediante vectores de posición y velocidad únicos. La situación es mucho más sencilla y esto hace que este tipo de modelo sea mucho más atractivo. A principios del siglo XX, Fokker y Tetrode publicaron un artículo que muestra cómo se puede formular un modelo particular de partículas que interactúan, totalmente relativista y de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell. Su formulación se centraba en eliminar los campos EM de la descripción y utilizaba un principio variacional para obtener las ecuaciones de movimiento de las partículas directamente a partir de la acción, sin ningún intermediario en forma de campo EM. Sin embargo, este enfoque restringe las soluciones a unas soluciones muy especiales de las ecuaciones de Maxwell, los llamados campos medio retardados medio avanzados.
Una formulación más general que no requiere tal restricción en los campos fue publicada por primera vez, creo, por J. Frenkel en su artículo
J. Frenkel, Sobre la electrodinámica de los electrones puntuales Zeits. f. Phys. 32, (1925), p. 518-534. http://dx.doi.org/10.1007/BF01331692
Para un relato más breve y fácil de leer, véase también
R. C. Stabler, Una posible modificación de la electrodinámica clásica , Physics Letters, 8, 3, (1964), p. 185-187. http://dx.doi.org/10.1016/S0031-9163(64)91989-4
Es cierto que Frenkel también propone las soluciones medio retardadas medio avanzadas como particularmente interesantes ya que permiten el movimiento estable de las partículas del átomo de hidrógeno, pero su formalismo en realidad no las requiere, permite cualquier campo EM que obedezca las ecuaciones de Maxwell.
La idea central es que las partículas actúan sobre otras partículas pero nunca sobre sí mismas. La razón de esta suposición para Frenkel era que la auto-acción de un punto sobre sí mismo es contradictoria y no lleva a ninguna parte.
Una partícula actúa sobre otras partículas a través de un campo electromagnético propio, por lo que cada campo adquiere un índice que indica a qué partícula "pertenece" el campo. Por ejemplo, la partícula aa genera el campo eléctrico y su valor en el punto rbrb es Ea(rb)Ea(rb) . Esto se introduce para que podamos llevar la cuenta de qué campo actúa sobre qué partícula.
Los campos obedecen a las ecuaciones de Maxwell con la partícula propia como fuente:
∇⋅Ea=ρa/ϵ0∇⋅Ea=ρa/ϵ0
∇⋅Ba=0∇⋅Ba=0
∇×Ea=−∂Ba∂t∇×Ea=−∂Ba∂t
∇×Ba=μ0ja+μ0ϵ0∂Ea∂t∇×Ba=μ0ja+μ0ϵ0∂Ea∂t
La superposición de los campos elementales de todas las partículas sigue obedeciendo las ecuaciones de Maxwell (gracias a su linealidad), por lo que esta superposición es un buen candidato para el campo EM total macroscópico.
La ecuación del movimiento de una partícula cargada bb es
mbd(γbvb)dt=∑a′qbEa(rb)+qbvb×Ba(rb)
(el primo cerca del signo de la suma significa en caso a = b el término debe ser omitido) Esta es una formulación general, totalmente relativista y que obedece tanto a las ecuaciones de Maxwell como a la fórmula de la fuerza de Lorentz.
Esta formulación directa de las ecuaciones de movimiento puede utilizarse para inferir y comprobar una formulación lagrangiana variacional, en la que tanto las variables de campo como las de las partículas son variables lagrangianas. La lagrangiana es
L=∫d3xL
donde
L=∑a∑b′−14FμνaFb,μν+∑a∑b′jμaAb,μ−∑amac2√1−v2a/c2δ(x−ra)
Volvamos al caso de dos partículas. Se puede hacer una aproximación: los potenciales son como si las partículas fueran estáticas o se movieran con velocidades muy inferiores a la de la luz. Estos potenciales se pueden insertar en el Lagrangiano y entonces se puede obtener otro Lagrangiano, una función de las posiciones de las partículas y sus derivadas, sin variables de campo.
De este modo, el efecto de los campos se expresa aproximadamente en función de las variables de las partículas. En el caso más sencillo, se trata del término culombiano qaqb4πϵ0|ra−rb| . Si el término cinético de la partícula de L se linealiza, se obtiene el Lagrangiano no relativista de dos partículas que interactúan a través de fuerzas eléctricas estáticas. Para esta lagrangiana aproximada, se puede hacer la transformación de Legendre y derivar la función hamiltoniana común para el átomo de hidrógeno. De la derivación se desprende que todo esto ignora las interacciones magnéticas, el retardo de la interacción y es válido sólo para velocidades muy inferiores a la de la luz.
Si se desea una mejor aproximación, se pueden insertar potenciales de partículas que se mueven rectilíneamente con baja velocidad y entonces la función lagrangiana resultante contiene, además del término culombiano, un término que describe la interacción magnética. Este término se denomina término de interacción de Darwin y el lagrangiano completo el lagrangiano de Darwin.
