Ejercicio de Anillos Conmutativos de Kaplansky y Teorema de Eakin-Nagata

Question

El ejercicio 15 de la sección 2-1 de la obra de Kaplansky Anillos conmutativos es demostrar que si $T$ es un anillo noetheriano y es un módulo finitamente generado sobre un subring $R$ de $T$ entonces $R$ es noetheriano. Kaplansky dice que el problema puede reducirse al caso en que $T$ es un dominio y $T/J$ es un noetheriano $R$ -para cada ideal no nulo $J$ usando lo siguiente:

Si $T$ es un anillo con un subring $R$ y $I$ es un ideal en $T$ máxima con respecto a la propiedad de que $T/I$ no es un noetheriano $R$ -módulo, entonces $I$ es un ideal primo de $T$ .

Ahora bien, como $T_{0}=T/I$ es un dominio y $T_{0}/J_{0}$ es noetheriano para todo ideal no nulo $J_{0}$ de $T_{0}$ tenemos que $R/R\cap I$ es noetheriano, asumiendo lo que Kaplansky dijo arriba. Pero todavía no sé cómo demostrar que $R$ es noetheriano a partir de eso. ¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Aunque no entiendo muy bien su pregunta, permítame intentar esbozar la demostración del teorema (tal como se da en el libro de Kaplansky):

Reducir la prueba al caso $T$ dominio y $T/J$ noetheriano $R$ -para cualquier $J\subset T$ ideal no nulo: si $T$ es un noetheriano $R$ -módulo, entonces $R$ es un anillo noetheriano, ya que un anillo que tiene un módulo fiel noetheriano es noetheriano (¿por qué?). Entonces supongamos que $T$ no es un noeteriano $R$ -y tomar un ideal $K$ en $T$ maximal con la propiedad de que $T/K$ no es un noeteriano $R$ -módulo. Demostrar que $K$ es primo.
Consideremos un ideal no nulo $I$ de $R$ . Por un ejercicio anterior se sabe que hay $J\subset T$ ideal no nulo tal que $J\cap R\subseteq I$ .
Desde $T/J$ es un noetheriano $R$ -entonces también es un módulo noetheriano $(R/J\cap R)$ -módulo. Pero un anillo que tiene un módulo fiel noetheriano es noetheriano (¿por qué?). En nuestro caso el módulo es $T/J$ y el anillo es $R/J\cap R$ . Deducimos que $R/J\cap R$ es noetheriano, y por lo tanto $R/I$ es noetheriano.