Función continua y espacio topológico normal

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico normal. Si $A \subset X$ está cerrado y $G_{\delta}$ entonces existe una función continua $f:X \to [0,1]$ tal que $f(x) =0$ si $x \in A$ y $f(x) \neq 0$ si $x \notin A$ .

He intentado utilizar el lema de Urysohn y el teorema de extensión de Tietze, pero no he tenido éxito.

Answer 1

Dejemos que $A = \bigcap_{n=1}^\infty V_n$ donde cada $V_n$ está abierto. Por el lema de Urysohn, podemos encontrar $f_n : X \to [0, 1]$ donde $f(A) = \{0\}$ y $f(X - V_n) = \{1\}$ . Definir: $$ f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(x)}{2^n} $$

Por el Prueba M de Weierstrass , $f$ es continua. Es la función deseada.