Físicamente, ¿qué es una representación psuedoreal?

Question

Hay tres tipos de representaciones: real, compleja y pseudoreal. Una representación compleja no es equivalente a su conjugado, y una real sí, lo cual es bastante sencillo. Una representación pseudoreal es también equivalente a su conjugado, pero el cambio de matriz base que los relaciona tiene algunas propiedades divertidas. (Nótese que estas definiciones son independientes de los términos "real" y "complejo" en matemáticas; todas las representaciones en mecánica cuántica son "complejas" en el sentido matemático).

Hay un significado físico claro de una representación compleja, es decir, que las partículas que se transforman en estas representaciones no son lo mismo que sus antipartículas. Pero no encuentro ningún significado físico sencillo para la pseudorealidad que la distinga de la realidad; me parece una distinción bastante arbitraria y ni siquiera sé por qué querríamos hacer esa distinción por motivos matemáticos. ¿Cómo debería pensar en la realidad y la pseudorealidad físicamente?

Answer 1

La definición de un representación real es no simplemente que es isomorfo a su conjugado.

Tanto las representaciones reales como las pseudoreales son isomorfas a sus conjugados. Esta isomorfía obliga a la existencia de un mapa equivariante antilineal $$ J : V \to V, $$ donde $V$ es el espacio de representación, que simplemente es el isomorfismo $\phi : V\to V^\ast$ concatenado con la conjugación compleja.

Tal mapa equivariante es necesariamente cuadrado a un múltiplo de la identidad por el lema de Schur, es decir $J^2 = c\cdot \mathrm{id}_V$ para algunos $c\in \mathbb{R}$ . Si $c>0$ entonces $J$ es un forma real y la representación es real, si $c<0$ entonces $J$ es un forma cuaterniónica y la representación es pseudoreal = cuaterniónica.

Se puede reducir una representación real a una representación literal en un espacio vectorial real, es decir, restringir la representación al subespacio con $J(v) = v$ es decir, la representación compleja $V$ se divide naturalmente en la suma directa de dos representaciones reales $V_\mathbb{R}\oplus \mathrm{i}\mathbb{R}$ . Esto es, por ejemplo, lo que son los espinores de Majorana.

No se puede reducir una representación cuaterniónica de este modo (aunque hay algún asunto curioso con las pseudo-mayores que no me queda del todo claro).