Es correcto afirmar que $\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{f(n^k)}{f(n^{k+1})}}<1$ ?

Question

función dada $f(n)$ como entonces: $$\lim_{n \rightarrow \infty}{f(n)}=\infty$$ Es correcto que $\forall k \in \mathbb{N}$ existe:
$$\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{f(n^k)}{f(n^{k+1})}}=0$$ ?

No tengo ni idea de cómo probarlo. Pero por otro lado, no puedo encontrar un ejemplo que demuestre que no es correcto.

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Además, si no es debe ser igual a $0$ .
Es correcto que $\forall k \in \mathbb{N}$ existe:
$$\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{f(n^k)}{f(n^{k+1})}}<1$$ ?

Answer 1

No. Por ejemplo $f(x)=\ln(x)$ entonces para $k\in\mathbb{N}$ , $$\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{f(n^k)}{f(n^{k+1})}}= \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{\ln(n^k)}{\ln(n^{k+1})}}= \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{k\ln(n)}{(k+1)\ln(n)}}=\frac{k}{k+1}.$$

En cuanto a su segunda pregunta, observe que el límite (si existe) es $\leq 1$ si $f$ está aumentando.

Sin embargo, el límite puede ser $>1$ . Para $k\geq 2$ definamos $f(n)=2\ln(n)$ si $n$ es un perfecto $k$ -poder y $f(n)=\ln(n)$ Si no es así, entonces $$\limsup_{n \rightarrow \infty}{\frac{f(n^k)}{f(n^{k+1})}}=\frac{2k}{k+1}>1.$$

Answer 2

No, en general no se puede concluir. Es cierto, por ejemplo, para $f(x)=x$ pero $f(x) = \log(x)$ produce

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\log(n^{k})}{\log(n^{k+1})} = \lim_{n \to \infty} \frac{k\log(n)}{(k+1)\log(n)} = \frac{k}{k+1}.$$