Utilizando el hecho de que $A_n$ es simple para $n \geq 5$ demostrar que los únicos subgrupos de índice 6 de $A_6$ y $S_6$ es $A_5$ y $S_5$ respectivamente

Question

He visto muchas pruebas que implican los teoremas de Sylow, pero no se me permite utilizarlo. Además, me han dicho que esto es equivalente a decir " $A_5$ es el único grupo simple de orden 60", pero tampoco veo la relación.

Answer 1

Dejemos que $H$ sea un subgrupo de orden $60$ en $G = A_6$ . Considere $G$ actúa sobre los cosets $[G:H]$ .

El núcleo de esta acción es trivial, de lo contrario el núcleo es un subgrupo normal no trivial del grupo simple $G=A_6$ . Por lo tanto, esta acción es fiel. Nótese que el estabilizador de $H\in[G:H]$ es todo el $H$ . $H$ actúa sobre el resto de $5$ cosets.

Dejemos que $\varphi:H\to S_5$ representan esta acción. $\ker \varphi = 1$ ya que la acción es fiel. Por lo tanto, $\varphi(H)$ es un subgrupo de orden $60$ en $S_5$ . El único subgrupo de orden $60$ en $S_5$ hasta el isomorfismo es $A_5$ . (Esto utiliza la unicidad de $A_5$ como un grupo simple de orden $60$ .) Así que hemos terminado.