El más grande de la forma de área con un diámetro de entre 1?

Question

Definir el diámetro de una forma como la mayor distancia entre dos cualesquiera de sus puntos. Qué diámetro de 1 forma que tiene mayor área?

Es el círculo?

He estado buscando la mayor poco poliedro por un tiempo, y parecía más grande que poco polígono de nuevo. Un papel por Henrion y Messine extendido resultados para el 16-gon. La tendencia muestra que la mejor zona es caótica, con la óptima 14-gon tener una mejora más de la habitual 14-gon por un factor mayor que la mostrada en el 8, 10 y 12 ágonos.

Si la tendencia continúa, puede ser una unidad de thrackle que genera un 50-gon 90-gon de diámetro 1, con un área total mayor que la de un círculo de diámetro de 1.

Podría ser posible más rápido que el que, mediante el uso de Reuleaux polígono métodos.

Qué diámetro-1 de la forma que tiene mayor área? Diámetro 1 polígonos que no quepan en un diámetro 1 círculo son fáciles de encontrar, pero hay uno con una zona exterior que supera el área descubierta?

Answer 1

Creo que es el círculo mediante el siguiente razonamiento. No estoy totalmente seguro acerca de esto, sin embargo, lo que si existe es un error espero que alguien me corrija.

La forma del área de máxima debe ser limitada por una curva de anchura constante (con el diámetro de ser el ancho), ya que cualquier curva de ancho variable podría ampliarse en las direcciones donde el ancho es deficiente, el aumento de la superficie, manteniendo el mismo diámetro.

Ahora por Barbier del teorema, el perímetro de cualquier curva de anchura constante $w$ es sólo $\pi w$, independientemente de la forma. Por lo tanto todas las formas que pueden ser candidatos para la optimalidad debe tener el mismo perímetro.

Pero por la desigualdad isoperimétrico, un círculo es la curva que encierra un área máxima de entre todas las formas con un perímetro dado. Así, el círculo encierra el área máxima entre todas las formas con un diámetro dado.

Answer 2

El isodiamétricos la desigualdad de los estados $V(C) \le \left(\frac{\operatorname{diam}(C)}{2}\right)^n V(B_2^n)$ para cualquier conjunto acotado $C \subset \mathbb{R}^n$. Esto significa que una bola de radio $\frac{1}{2}$ cuenta con el mayor volumen de todas formas con un diámetro en la mayoría de las $1$.

Una prueba se puede encontrar en Gruber del libro sobre geometría convexa. Wlog puede suponer $C$ a ser convexo y compacto. Todo se reduce a la aplicación de sucesivas Steiner-symmetrizations con respecto a la coordenada hyperplanes a $C$. El resultado es un cuerpo convexo $D$ que tiene el mismo volumen que $C$, el diámetro de $D$ es mayor que el diámetro de $C$ $D$ es simétrica con respecto al origen. La última parte implica que $D$ es un subconjunto de a $\frac{\operatorname{diam}(D)}{2} B_2^n$.