¿Por qué es $\lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{a}{bx+c})^{dx+f}=e^{\frac{a\cdot d}{b}}$ ?

Question

Estoy estudiando los límites a través de un libro de estudio, y me dan esta simple regla pero sin ninguna explicación.

$$\lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{a}{bx+c})^{dx+f}=e^{\frac{a\cdot d}{b}}$$

¿Por qué esto es cierto para todos los valores de $a, b, c, d, e$ y $f$ ? Esto probablemente se comprueba escribiendo la expresión en forma de $e^{\ln(...)}$ y luego aplicar l'Hôpital, pero parece que estoy perdido. Y en segundo lugar, ¿se puede demostrar también sin recurrir a l'Hôpital?

Se agradece cualquier ayuda, ¡gracias!

Answer 1

Suponiendo que $b\ne 0$ tenemos que

\begin {align} \lim_ {x \rightarrow \infty } \left (1+ \frac {a}{bx+c} \right )^{dx+f}& \\ =& \lim_ {x \rightarrow \infty } \left (1+ \frac {a}{bx+c} \right )^{{(bx+c)} \cdot\frac {dx+f}{bx+c}} \\ =& \left ( \lim_ {x \rightarrow \infty } \left (1+ \frac {a}{bx+c} \right )^{bx+c} \right )^{ \lim_ {x \to\infty } \frac {dx+f}{bx+c}}. \end {align} Ahora, usa eso

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{bx+c}\right)^{bx+c}=e^a$$ y $$\lim_{x\to\infty}\frac{dx+f}{bx+c}=\dfrac{d}{b}.$$

Answer 2

Supongamos que $b\neq 0$ .

tomando el logaritmo, obtenemos

$$(dx+f)\ln(1+\frac{a}{bx+c})$$

y utilizando la equivalencia

$$\ln(1+X)\sim X\;\;\;(X\to 0)$$

encontramos

$$\lim_{x\to+\infty}(dx+f)\ln(1+\frac{a}{bx+c})=\lim_{x\to+\infty}\frac{a(dx+f)}{bx+c}=\frac{ad}{b}$$

qed.

Answer 3

\begin {align} \left ( 1+ \frac {a}{bx+c} \right )^{dx+f} & = e^{(dx+f) \log\left ( 1+ \frac {a}{bx+c} \right )} \\ & \approx e^{(dx+f) \left ( \frac {a}{bx+c} \right )} \quad \text {desde } \log (1+x) \approx x \text { para pequeños } x \\ & \approx e^{a \times \frac {d+ f/x}{b+c/x}} \end {align} Como $ x \to \infty$ , $$\left( 1+ \frac{a}{bx+c}\right)^{dx+f} \to e^{\frac{ad}{b}}$$