Construcción de Grothendieck para funtores a la categoría de relaciones

Question

Un caso importante de la Construcción Grothedieck es el categoría de elementos . Podemos obtener una construcción similar cuando el functor subyacente es del tipo $F:\mathcal C\rightarrow Rel$ , donde $Rel$ es la categoría cuyos objetos son conjuntos y los morfismos son relaciones binarias.

De manera similar a cómo Spivak, p.194, Definición 4.6.2.1 definió la categoría de elementos, podemos definir esta "categoría de elementos relacionales" como la categoría $\Gamma(F)$ cuyos objetos y morfismos se generan como sigue: $$Ob(\Gamma(F)):=\{(C,c):C\in Ob(\mathcal C) \wedge c\in F(C)\}$$ $$Hom_{\Gamma(F)}((C,c),(C',c')):=\{f:C\rightarrow C':(c,c')\in F(f)\}$$

No puedo entender cómo podemos identificar flechas en $\Gamma(F)$ como flechas en $\mathcal C$ . Por ejemplo, si $F$ es simplemente la inclusión de categorías, y $C=\{c\}$ y $C'=\{c'_1,c'_2\}$ y sólo tenemos un flecha $f=\{(c,c'_1),(c,c'_2)\}$ , todavía deberíamos conseguir dos flechas en $\Gamma(F)$ Es decir: $$(C,c)\rightarrow(C',c'_1)$$ $$(C,c)\rightarrow(C',c'_2)$$ cada uno de los cuales corresponde a un elemento de $f$ . En cambio, la definición de las homclases sugiere que sólo hay una flecha en $\Gamma(F)$ correspondiente a $f$ .

La pregunta es: ¿es esta definición de las homclases estrictamente correcta, o debería modificarse de alguna manera?

Answer 1

Perdón por mi confusión en los comentarios.

Tienes toda la razón, es el mismo problema que para las categorías de rodajas, por ejemplo, o las categorías de flechas.

Permítanme tomar el ejemplo de la categoría de rodajas. Dado un objeto $A$ de una categoría $C$ se puede formar $C/A$ la categoría cuyos objetos son mapas $X\to A$ y un morfismo de $X\to A$ a $Y\to A$ es un mapa $X\to Y$ haciendo que el diagrama obvio conmute.

Pero nos quedamos con el mismo problema; es decir, con esa definición podemos perfectamente tener $Hom_{C/A}(c,d) \cap Hom_{C/A}(e,f) \neq \emptyset$ para diferentes objetos $c\neq e, d\neq f$ y eso es problemático.

A algunos autores no les importa esto; pero (creo) a la mayoría sí.

Para resolver este problema puedes decir "sabemos lo que queremos decir; está claro por el contexto", o desde el punto de vista formal el (en mi opinión) mejor enfoque es añadir el dominio y el codominio en los datos de la flecha : que es en tu caso una flecha $(C,c)\to (D,d)$ será un triple $(f, (C,c), (D,d))$ donde $f: C\to D$ es una flecha (o se podría decir que es un triple $(f,c,d)$ que realmente no importa ya que los datos de $C,D$ ya está contenida en $f$ ); y, por supuesto, el mismo truco funciona para las categorías de rodajas y las categorías de flechas, por ejemplo.