Resolver ecuaciones mediante la optimización convexa

Question

Tengo las siguientes ecuaciones para resolver simultáneamente ( $y$ es el vector a resolver) \begin {casos} (A^ \top A+ \lambda D)y=A^ \top b \\ y_1^2=y_2^2+y_3^2+y_4^2 \\ y_1 \geq 0, \end {casos} donde $(A^\top A+\lambda D) \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ es singular cuyo rango puede ser $1$ , $2$ o $3$ y $y=[y_1~y_2~y_3~y_4]^\top$ se debe resolver.

Supongamos que las ecuaciones tienen siempre una solución. Como $(A^\top A+\lambda D)$ es singular, puede haber infinitas soluciones.

Me pregunto si puedo convertir el problema en una optimización convexa, y resolviendo la correspondiente optimización convexa podemos obtener la solución única. O alguien puede ofrecer un método eficiente para obtener una solución única.

Gracias por sus acertados comentarios.

Answer 1

Hay que utilizar el sistema de fronteras para resolver $y$ . Desde $A^TA+\lambda D$ es singular, $0$ es un valor propio; es decir, existe un vector propio no nulo $q$ tal que $$ (A^TA+\lambda D)q=0. $$ Asimismo, $(A^TA+\lambda D)^T=A^TA+\lambda D^T$ tiene un valor propio $0$ ; amely, there a nonzero eigenvector $p$ tal que $$ (A^TA+\lambda D^T)p=0 $$ o $$ p^T(A^TA+\lambda D)=0. $$ Así que la solvencia de la singularidad es $$ p^TA^Tb=0 $$ bajo el cual, el sistema de bordes $$ \bigg[\begin{matrix}A^TA+\lambda D&q\\p^T&0\end{matrix}\bigg]\binom{w}{u}=\binom{A^tb}{0} $$ tiene una solución única.