Calcular la tabla de adición del campo finito $\mathbb{F}_8$

Question

Calcular la tabla de adición de un campo con $8$ elementos. Sugerencia: Factor $x^8-x$ en $\mathbb{Z_2}$ .

En el teorema anterior, el libro muestra una prueba de la existencia de un campo que tiene $p^n$ elementos utilizando el campo más pequeño sobre el que $x^q-x$ se divide, que es lo que está insinuando.

Lo que he hecho es añadir las siete raíces de la unidad $\zeta=e^{i2\pi/7}$ a $\mathbb Z_2$ . Sin embargo, para expresar completamente la tabla, necesito saber qué elemento corresponde a la expresión $1+\zeta$ y luego todo lo que sigue, pero no puedo calcularlo.

Answer 1

Creo que te será más fácil utilizar la pista de Daniel Schepler:

Dejemos que $p(x) = x^3 + x + 1 \in \Bbb Z_2[x]$ con $u$ una raíz. Te dejo que demuestres que esto es irreducible sobre $\Bbb Z_2$ .

Claramente, $u^3 = u+1$ . Los poderes de $u$ son:

$u^2$ (no podemos reducirlo más),

$u^3 = u+1$ , $u^4 = u(u^3) = u(u+1) = u^2 + u$ (de nuevo, esto no puede reducirse más).

$u^5 = u^2(u^3) = u^2(u+1) = u^3 + u^2 = u^2 + u + 1$ ,

$u^6 = (u^3)^2 = (u+1)^2 = u^2+1$ ,

y, por supuesto, $u^7 = u(u^6) = u(u^2+1) = u^3 + u = (u+1) + u = 1$ .

El problema de tu planteamiento de entrada es: "¿Qué es $\zeta$ ?", ya que la expresión $e^{i2\pi/7}$ no tiene sentido sobre el campo $\Bbb Z_2$ .

Claramente, $\Bbb Z_2(u) \cong \Bbb Z_2[x]/(p(x))$ es un campo de ocho elementos. La adición es sencilla, ya que tenemos:

$\Bbb Z_2(u) = \{a_0 + a_1u + a_2u^2\mid a_0,a_1,a_2 \in \Bbb Z_2\} \cong (\Bbb Z_2)^3$ como $\Bbb Z_2$ espacio vectorial.