¿Está casi cualquier grupo generado por dos generadores?

Question

¿Cuál es la probabilidad asintótica de que a un grupo finito elegido al azar se le pueda presentar $2$ ¿generadores? Más concretamente, ¿qué es $$ \lim _{n \to \infty} \frac{\text{number of 2-generated groups of order} \le n}{ \text{number of groups of order} \le n}$$ ¿si existe?

Answer 1

De hecho, casi todos los grupos no lo son. Además, es cierta una afirmación más contundente:

Supongamos que $d$ es un número natural arbitrario. Entonces $\lim _{n \to \infty} \frac{\text{number of }d \text{-generated groups of order} \le n}{ \text{number of groups of order} \le n} = 0$

Para demostrarlo necesitamos dos hechos.

El primero es el Teorema 1 de "Enumerating Boundedly Generated Finite Groups" de Alexander Lubotzky. Dice así:

Existe una constante $c$ tal que para cualquier $d$ y $n$ el número de $d$ -de orden inferior a $n$ no supera $n^{cd\ln(n)}$

El segundo es un teorema demostrado por Charles Sims en "Enumerating $p$ -grupos", que establece:

Para cualquier primo $p$ y natural $n$ el número de grupos de orden $p^n$ es $p^{\frac{2}{27}n^3 + O(n^{\frac{8}{3}})}$

O, para ser más exactos, su corolario:

Existe una constante $b$ que para cualquier $n$ el número de grupos de orden estrictamente inferior a $n$ es mayor que $n^{b(\ln(n))^2}$

De esas declaraciones obtenemos:

$$0 \leq \lim _{n \to \infty} \frac{\text{number of }d \text{-generated groups of order} \le n}{ \text{number of groups of order} \le n} \leq \lim_{n \to \infty} \frac{n^{cd\ln(n)}}{n^{b(\ln(n))^2}} = 0$$