Extensión ciclotómica de $\mathbb{Q}$

Question

Dejemos que $L$ sea una extensión de $\mathbb{Q}$ con $[L:\mathbb{Q}]=10$ . Dejemos que $L^*$ sea el grupo multiplicativo $(L\setminus\{0\}, \cdot)$ y $T(L^*)$ el grupo de torsión de $L^*$ . Demuestre que hay exactamente cuatro posibilidades para el orden de $T(L^*)$ , a saber $|T(L^*)|\in\{2, 4, 6, 22\}$ . Para cada caso, exponga la extensión $L$ .

Pensé en la extensión $L=\mathbb{Q}(e^{2\pi i/11})$ que satisface $[L:\mathbb{Q}]=10$ . En este caso, $T(L^*)=\{e^{2\pi ki/11}\mid k \in\{0,...,10\}\}$ que son todos los primitivos $11^{th}$ -raíces de la unidad, por lo que $|T(L^*)|=11\notin\{2, 4, 6, 22\}$ . ¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Dejemos que $\zeta_n$ sea una primitiva $n^{th}$ raíz de la unidad que genera el subgrupo de torsión de $L^*$ . Entonces, como $F=\Bbb Q(\zeta_n)\subseteq L$ y sabemos que $n$ debe ser uniforme para que esto sea así, como si $n$ es impar, $-\zeta_n$ tiene el doble de orden, por lo que no puede ser un generador. Escribe $n=2k$ . Entonces $2k$ es el orden del subgrupo de torsión, y requerimos $\phi(2k)|10$ . Ahora para cada primo, $p|k$ sabemos que $\phi(2k)\ge p-1$ por lo que los únicos primos que pueden dividir $k$ son $2,3,5,7,11$ desde $\phi(2k)|10$ . Concluimos $k=2^\alpha 3^\beta 5^\gamma 7^\delta 11^\epsilon$ .

Si $\epsilon >1$ entonces todos los demás son cero y tenemos $\epsilon=1$ por nuestras desigualdades, y $L=\Bbb Q(\zeta_{11}$ . Siguiente si $\delta, \gamma>0$ entonces $6|10$ o $4|10$ que es una locura, así que ambos son cero. Si $\beta>1$ entonces $3|10$ y finalmente si $\alpha >1$ entonces $4|10$ . Así que nuestras opciones son

$$\begin{cases} 0\le\alpha \le 1 \\ 0\le\beta\le 1 \\ \gamma = \delta = 0 \\ 0\le \epsilon \le 1\end{cases}$$

¿Qué puede pasar? Podemos descartar $\alpha = \beta = 1 $ ya que esto daría $\phi(12) = 4 | 10$ de nuevo imposible. Ya hemos cubierto $\epsilon >0$ , por lo que todos los demás casos son con $\alpha, \beta$ posiblemente no sea cero. Así que en general todos nuestros casos son:

$$\begin{cases} \alpha = \beta = 0\iff \text{Tor }L^* = \{\pm 1\} \\ \alpha = 1,\beta = 0 \iff \text{Tor }L^*= \{\pm i, \pm 1\} \\ \alpha = 0, \beta = 1 \iff \text{Tor }L^* = \langle \zeta_6\rangle \\ \epsilon = 1 \iff \text{Tor }L^* = \langle\zeta_{22}\rangle \end{cases}$$

Y estos tienen todos los órdenes correctos para conformar su lista de candidatos. Ahora hay que encontrar el $L$ . Ya te has ocupado del último caso, ¿qué pasa con los demás?

Obsérvese que el subcampo real máximo de $\Bbb Q(\zeta_{25})$ tiene grado ${\phi(25)/2} = 10$ . Como es totalmente real, el número de raíces de la unidad es $2$ y, por lo tanto, si $\tau$ es la conjugación compleja, $L=\Bbb Q(\zeta_{25})^\tau$ el campo fijo de la conjugación compleja es tal $L$ . Para pedidos $4$ y $6$ necesitamos una extensión de $\Bbb Q(i)$ o $\Bbb Q(\zeta_3)$ de grado $5$ . ¿Puede ver cómo proceder en estos casos basándose en cómo hemos hecho las cosas hasta ahora?