Pregunta de probabilidad sobre el teorema de Bayes

Question

La urna 1, la urna 2, , la urna 5 contienen cada una p bolas blancas y q negras. Se transfiere una bola elegida al azar de la Urna 1 a la Urna 2, a continuación se transfiere una bola elegida al azar de la Urna 2 a la Urna 3, y así sucesivamente hasta que finalmente se transfiere una bola elegida al azar de la Urna 4 a la Urna 5. Si la bola transferida de la Urna 1 a la Urna 2 es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la bola transferida de la Urna 4 a la Urna 5 sea blanca?

He llegado a una expresión complicada para la probabilidad mencionada y no estoy seguro de los métodos que he utilizado para llegar al resultado y el resultado en sí mismo y, por lo tanto, cualquier respuesta sería muy apreciada.

Método utilizado: Puesto que se da que la bola transferida de la urna 1 a la 2 es una bola blanca, simplemente tenemos que considerar todas las formas diferentes a través de las cuales podemos hacer llegar una bola blanca a la quinta urna desde la cuarta. Una forma es que consigamos una bola blanca de la urna 2 a la urna 3 y otra bola blanca de la urna 3 a la urna 4 y finalmente una bola blanca de la urna 4 a la urna 5, que es lo que pide la pregunta. La probabilidad de tal evento sería ((p+1)/(p+q+1))^3. Habría tres o más posibilidades de este tipo, en las que los traspasos de la 2 a la 3 y el traspaso de la 3 a la 4 serían blanco y negro, negro y blanco y, finalmente, negro y negro, respectivamente, terminando todos en una bola blanca traspasada de la urna 4 a la 5. Encontramos las probabilidades de las tres posibilidades restantes de la misma manera que hicimos con la primera y sumamos las cuatro para obtener nuestra respuesta.

Answer 1

HINT

Si sólo hay $3$ entonces los cuatro resultados posibles son las siguientes configuraciones de bolas en la tercera urna:

$$(p+2,q), 2\times(p+1,q+1), (p,q+2).$$

Estas configuraciones se hacen realidad si

• Para $(p+2,q)$ : Primero, seleccionamos una bola blanca y luego volvemos a seleccionar una bola blanca. La probabilidad de este evento es $$\frac p{p+q}\times\frac{p+1}{p+q+1}.\tag 1$$
• Para $(p+1,q+1)$ : Hay dos posibilidades; primero seleccionamos una bola blanca y luego seleccionamos una bola negra, o, primero, seleccionamos una bola negra y luego una bola blanca. La probabilidad es

$$\frac{p}{p+q}\times\frac{q}{p+q+1}+\frac{q}{p+q}\times\frac{p}{p+q+1}=2\frac{pq}{(p+q)(p+q+1)}.$$

• Para $(p,q+2)$ : Primero seleccionamos una bola negra y luego otra bola negra. La probabilidad de este par es

$$\frac q{p+q}\times\frac{q+1}{p+q+1}.$$

Ahora, podemos hacer la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda vez seleccionemos una bola blanca dado que la primera vez seleccionamos una bola blanca?

Necesitamos la probabilidad de que hayamos seleccionado una bola blanca primero y otra blanca después. Esta probabilidad viene dada por $(1)$ . Necesitamos la probabilidad de que seleccionemos una bola blanca la segunda vez. La probabilidad correspondiente es

$$\frac{q}{p+q}\times\frac{p}{p+q+1}+\frac p{p+q}\times\frac{p+1}{p+q+1}.$$ Así que la probabilidad condicional buscada es

$$\frac{\frac p{p+q}\times\frac{p+1}{p+q+1}}{\frac{q}{p+q}\times\frac{p}{p+q+1}+\frac p{p+q}\times\frac{p+1}{p+q+1}}=\frac{p+1}{q+p+1}.$$

Para responder a la pregunta original hay que hacer lo mismo con los posibles $16$ resultados.

EDIT: Oh sí

Answer 2

Estoy de acuerdo en que calcular la probabilidad directamente mirando el árbol de eventos y multiplicando/sumando las probabilidades apropiadas es probablemente la forma más rápida de hacer este problema. Sin embargo, si tienes más urnas que 5, esta estrategia se volverá difícil de manejar rápidamente.

Se puede resolver el problema para una cantidad arbitraria de urnas utilizando la recursividad. El hecho de que el problema parezca empezar de nuevo cada vez que se elige una nueva bola de una nueva urna debería ser una pista de que la recursividad podría ser una buena idea.

Antes de escribir cualquier ecuación, yo empezaría dibujando algunos niveles del árbol de eventos para que puedas ver cómo escribir tus ecuaciones correctamente. Ahora, dejemos que $A_n$ sea el caso de que el $n^{th}$ la pelota es blanca. Nos gustaría encontrar $P(A_n|A_1)$ así que usando la ley de la probabilidad total: \begin {align*} P(A_n|A_1) &= P(A_n|A_1, A_2)P(A_2|A_1)+P(A_n|A_1, A_2^c)P(A_2^c|A_1) \\ &= P(A_{n-1}|A_1)P(A_2|A_1)+P(A_{n-1}|A_1^c)P(A_2^c|A_1), \end {align*} donde, en la segunda línea, he utilizado la estrategia de recursión estándar. Esto está bien hacerlo ya que el problema original es calcular la probabilidad de $A_n$ dado que hay $p+1$ blanco y $q$ bolas negras en la urna 2. El término $P(A_n|A_1, A_2)$ representa la probabilidad de $A_n$ dado que hay $p+1$ blanco y $q$ bolas negras en la urna 3. Así vemos que el problema vuelve a empezar en un solo paso hacia el futuro. En cuanto al segundo término, he empleado la misma estrategia recursiva.

Ya que tenemos el término, $P(A_{n-1}|A_1^c)$ vemos que tendremos que escribir otra ecuación recursiva para resolverlo. Uso la misma estrategia exacta que la anterior, pero ahora asumiendo que la primera bola era negra: \begin {align*} P(A_n|A_1^c) &= P(A_n|A_1^c, A_2)P(A_2|A_1^c)+P(A_n|A_1^c, A_2^c)P(A_2^c|A_1^c) \\ &= P(A_{n-1}|A_1)P(A_2|A_1^c)+P(A_{n-1}|A_1^c)P(A_2^c|A_1^c). \end {align*}

No es difícil calcular las probabilidades $P(A_2|A_1), \ldots$ . Por ejemplo, $P(A_2|A_1)$ es la probabilidad de escoger blanco de una urna con $p+1$ blanco y $q$ negro, para que $P(A_2|A_1)=(p+1)/(p+1+q)$ . Resolviendo todos estos términos, y expresando las ecuaciones anteriores en una notación algo más legible ( $p_n = P(A_n|A_1)$ , $p_n^c = P(A_n|A_1^c)$ ), tengo las siguientes ecuaciones acopladas: \begin {Ecuación} \begin {casos} p_n = p_{n-1} \left ( \frac {p+1}{p+1+q} \right )+p_{n-1}^c \left ( \frac {q}{p+1+q} \right ) \\ p_n^c = p_{n-1} \left ( \frac {p}{p+1+q} \right )+p_{n-1}^c \left ( \frac {q+1}{p+1+q} \right ). \end {casos} \end {ecuación} Esto se puede convertir en una única ecuación recursiva en $p_n$ resolviendo para $p_{n-1}^c$ de la primera y conectando esto a la segunda. Entonces tengo: \begin {Edición} p_n = p_{n-1} \left ( \frac {p+2+q}{p+1+q} \right )-p_{n-2} \left ( \frac {1}{p+1+q} \right ). \end {ecuación} Se trata de una ecuación recursiva lineal de segundo orden, que se puede resolver de forma estándar resolviendo las raíces de la ecuación característica y utilizando las siguientes 2 condiciones de contorno: $p_1=P(A_1|A_1)=1$ , $p_2=P(A_2|A_1)=(p+1)/(p+1+q)$ . Resolviendo esta ecuación, encuentro que la solución general para la $n^{th}$ bola (es decir, con $n+1$ urnas) es: \begin {equation*} p_n = \frac {p}{p+q}+ \frac {q(p+1+q)^{1-n}}{p+q}. \end {ecuación*} Para tu caso, tenemos cinco urnas (y 4 bolas), así que sólo tienes que enchufar $n=4$ en esta ecuación y tendrás la respuesta.