Conversión de la suma (¿cómo puedo obtener de $k \cdot \sum_{j=k}^{2k} \frac{1}{j-k+1}$ a $ k \cdot \sum_{j=1}^{k+1} \frac{1}{j}$ )?

Question

Estoy tratando de averiguar los pasos entre estas dos expresiones iguales.

$$ k \cdot \sum_{j=k}^{2k} \frac{1}{j-k+1} = k \cdot \sum_{j=1}^{k+1} \frac{1}{j} $$

Lo entiendo. $2k -k +1 = k+1$ Pero, ¿por qué $j=k$ cambiar a $j=1$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que para

• $j$ varing de $k$ hasta $2k$

tenemos que

• $j-k+1$ varía linealmente de $1$ a $k+1$

por lo que las dos sumas son equivalentes.

Si le resulta confuso utilizar el mismo $j$ para ambas sumas, utilicemos otro índice para la segunda suma, es decir, por ejemplo

$$r=j-k+1 \implies k \cdot \sum_{j=k}^{2k} \frac{1}{j-k+1} = k \cdot \sum_{r=1}^{k+1} \frac{1}{r}$$