calcular esta integral $\int^{8}_{0} \pi y(y^{\frac{4}{3}}+1)dy$

Question

Estoy tratando de calcular la siguiente integral, sin embargo, estoy atascado en cómo proceder después de este punto:

$\int^{8}_{0} \pi y(y^{\frac{4}{3}}+1)dy$

1. $\pi\int^{8}_{0} y(y^{\frac{4}{3}}+1)dy$

Multiplicar por el conjugado 2. $\pi\int^{8}_{0} y(y^{\frac{4}{3}}+1)dy$ = $\pi\int^{8}_{0} y(\frac{y^{\frac{8}{3}}-1}{y^{\frac{4}{3}}-1})dy$

Hacia dónde ir a partir de aquí

Answer 1

Aplicar la regla de la potencia : \begin {alineado} \int_ {0}^{8}{ \pi y \left (y^{ \frac {4}{3}}+1 \right ) \mathrm {d}y}&= \pi\int_ {0}^{8}{y^{ \frac {7}{3}}\, \mathrm {d}y}+ \pi\int_ {0}^{8}{y^{1}\, \mathrm {d}y} \\ &= \pi\left [ \frac {y^{ \color {rojo}{1+} \frac {7}{3}}}{ \color {rojo}{1+} \frac {7}{3}} \right ]_{0}^{8}+ \pi\left [ \frac {y^{ \color {rojo}{1+}1}} \color {rojo}{1+}1} \right ]_{0}^{8} \\ &= \frac {3 \pi }{10} \times 2^{10}+ \frac { \pi }{2} \times 8^{2} \\ \int_ {0}^{8}{ \pi y \left (y^{ \frac {4}{3}}+1 \right ) \mathrm {d}y}&= \frac {1696 \pi }{5} \end {alineado}

Answer 2

Una pista: $$\int^{8}_{0} \pi y(y^{4/3}+1)\,dy$$ $$\int (y^{7/3}+y)\,dy=\frac{3 y^{10/3}}{10}+\frac{y^2}{2}+C$$