Número esperado de días antes de que todas las semillas mágicas se conviertan en manzanos

Question

Esta es una pregunta que se me planteó hace poco.

Al final del día $0$ , $6$ se plantan semillas mágicas. En cada día siguiente, cada semilla tiene la oportunidad de transformarse mágicamente en un manzano con una probabilidad de $\frac{1}{2}$ . Los resultados de las semillas son independientes entre sí.

¿Cuál es el número de días esperado para que las seis semillas se conviertan en manzanos?

Mi solución:

$E(n)$ - número de días previstos desde el momento en que sólo quedan n semillas.
Así que, $E(1)$ - número de días previstos para que crezca la última semilla.

$E(1) = 1 + \frac{1}{2} E(1) \,or \,E(1) = 2$ . Esto lo sabemos de todos modos por la analogía del lanzamiento de una moneda.

$E(2) = 1 + \frac{2}{4} E(1) + \frac{1}{4} E(2) \,or\, E(2) = \frac{8}{3}$ . Esto viene del hecho de que si al final de un día quedan dos semillas, tengo 3 posibles eventos - i) ambas semillas se convierten en árboles al día siguiente ( $+1$ día). ii) una semilla se convierte en árbol y una semilla queda (probabilidad $\frac{2}{4}$ ). Así que añadimos además el número de días previsto para $E(1)$ . iii) Ninguna de las semillas se convierte en un árbol (probabilidad $\frac{1}{4}$ ). Por lo tanto, añadimos el número de días previsto para $E(2)$ .

De la misma manera, $E(3) = 1 + \frac{3}{8} E(1) + \frac{3}{8} E(2) + \frac{1}{8} E(3)$

$E(4) = 1 + \frac{4}{16} E(1) + \frac{6}{16} E(2) + \frac{4}{16} E(3) + \frac{1}{16} E(4)$

$E(4) = 1 + \frac{4}{16} E(1) + \frac{6}{16} E(2) + \frac{4}{16} E(3) + \frac{1}{16} E(4)$

$E(5) = 1 + \frac{5}{32} E(1) + \frac{10}{32} E(2) + \frac{10}{32} E(3) + \frac{5}{32} E(4) + \frac{1}{32} E(5)$

$E(6) = 1 + \frac{6}{64} E(1) + \frac{15}{64} E(2) + \frac{20}{64} E(3) + \frac{15}{64} E(4) + \frac{6}{64} E(5) + \frac{1}{64} E(6)$

Esto me da una respuesta de $E(6) = \frac{55160}{13671}$ . Sin embargo, la respuesta dada es $(\log_2 6)$ . No entiendo cómo la respuesta llegó a $\log$ . Cuando calculo ambos, no son los mismos valores.

Además, ¿hay métodos más genéricos y rápidos que pueda utilizar para llegar a la respuesta?

Answer 1

Dejemos que $X_i$ el tiempo de crecimiento de la $i$ de la semilla, $X$ el tiempo hasta que todos crezcan. $X_i\sim Geom (0.5)$ así que $\Pr(X_i\leq t)=1-0.5^t$ para $t=1,2,\ldots$ . $X$ es el máximo de $X_1,\ldots,X_6$ así que $\Pr(X\leq t)=\prod\limits_{i=1}^6\Pr(X_i\leq t)=(1-0.5^t)^6$ y $\Pr(X=t)=\Pr(X\leq t)-\Pr(X\leq t-1)=(1-0.5^t)^6-(1-0.5^{t-1})^6$

Finalmente, $E(X)=\sum\limits_{t=1}^\infty t\Pr(X=t)=\sum\limits_{t=1}^\infty t\left((1-0.5^t)^6-(1-0.5^{t-1})^6\right)=4.034$ (utilizado Wolfram Supongo que hay métodos generales para calcularlo) así que supongo que tienes razón y no entiendo el $\log_2(6)$ o bien. Podría venir de un argumento como "cada día la mitad de las semillas se convierten en árboles, así que necesitamos $\log_2(6)$ días para que todos se conviertan en árboles", pero no veo por qué esto es correcto.

Answer 2

Dejemos que $X_i$ sea el v.r. correspondiente al número del día en que el $i$ -la semilla se convierte en un manzano. Obviamente, para todos los $i=1, ..., 6$ y para todos $n \geq 1$ , $$\mathbb{P}(X_i = n) = \frac{1}{2^n}$$

Lo que se le pide que calcule es $$\mathbb{E}(\max(X_i))$$

Pero para todos los enteros $n \geq 1$ , $$\mathbb{P}(\max(X_i)=n) = \mathbb{P}(\max(X_i) \leq n) - \mathbb{P}(\max(X_i) \leq n-1) = \prod_{i=1}^6 \mathbb{P}(X_i \leq n) - \prod_{i=1}^6 \mathbb{P}(X_i \leq n-1)$$ $$=\left( 1 - \frac{1}{2^n} \right)^6-\left( 1 - \frac{1}{2^{n-1}} \right)^6$$

Y $$\mathbb{E}(\max(X_i)) = \sum_{n=1}^{+\infty} n \left[\left( 1 - \frac{1}{2^n} \right)^6-\left( 1 - \frac{1}{2^{n-1}} \right)^6\right]$$

Answer 3

El problema se puede replantear como: dadas las variables geométricas aleatorias $X_i$ para $1 \leq i \leq 6$ , encontrar $$E[\max_i(X_i)]$$

De hecho, no existe una expresión de forma cerrada, pero hay maneras de aproximar la respuesta. Véase esta pregunta o el artículo de Bennett Eisenberg "On the expectation of the maximum of IID geometric random variables" (Statistics and Probability Letters 78 (2008) 135-143). La respuesta $\log_2(6)$ parece ser una aproximación al considerar la expectativa del máximo de las variables i.i.d distribuidas exponencialmente con parámetro $\log(2)$ (la distribución exponencial es el análogo continuo de la distribución geométrica). Esta expectativa es igual a $$\frac{1}{\log(2)}\sum_{k=1}^6 \frac{1}{k}$$ La suma armónica se puede aproximar (muy mal) por $\log(6)$ , dándole la aproximación que desea.