He hecho un módulo de máster en RG y por lo que he aprendido estos son dos de los significados más importantes de necesitar una Geometría de Riemann:
1) Si consideramos la lagrangiana de una partícula en caída libre dada por $L= \int ds \sqrt{g_{uv}\dot{dx^u}\dot{dx^v}} $ y encontrar las ecuaciones del movimiento, por el principio de mínima acción este es el camino más corto y así debe ser la definición de una geodésica.
La forma alternativa de definir una geodésica es que el vector tangente de es paralelo transportado a lo largo de sí mismo :
$V^u \nabla_u V^a =0 $
Entonces, a través del teorema fundamental de la geometría de Riemann,( dada una variedad equipada con una métrica no degenerada, simétrica y diferenciable, existe una única conexión sin torsión tal que $\nabla_a g_bc =0 $ ), podemos demostrar que estas dos definiciones de una geodésica son importantes
2) Debido al teorema fundamental de la geometría de Riemann, dotado de una métrica sobre el espacio-tiempo, podemos expresar objetos importantes como el símbolo de Christoffel y el tensor de Riemman en términos de la métrica, y así la métrica codifica efectivamente toda la información sobre el espacio-tiempo
¿Existen otras funciones importantes de la geometría de Riemann?
La primera me parece bastante interesante- ¿es el formalismo de Palatini el que mira cuando la geometría no es riemmaniana y por tanto las geodésicas no serían las mismas?
Gracias de antemano.
