Error(es) en Mi Intuición de Vacío de la Verdad: $\forall \, x \, \in \,\emptyset : P(x)$

Question

$\exists \, x \, \in \, \emptyset : P(x)$ será falsa, no importa lo que el declaración de $P(x)$ es. No puede haber nada en $\emptyset$ que, cuando se conecta por $x$, hace $P(x)$ vienen de verdad, porque no hay nada en $\emptyset$ a todos! Puede que no sea tan claro si $\forall \, x \, \in \,\emptyset : P(x)$ debe ser considerado como verdadero o falso ...

$\Large{1.}$ I luego se detuvo leyendo para averiguar por mi cuenta si $\forall \, x \, \in \,\emptyset : P(x)$ fueron verdaderas o falsas.

$\boxed{\text{My Intuition :}}$ Desde el anterior, debido a que $\emptyset$ no contiene nada, lo $x \, \in \,\emptyset$ es falso.
Por otra parte, la declaración de $\forall \, x \, \in \,\emptyset$ es falso.
Puesto que nada se ha aludido o dejar de hablar $P(x)$, lo $\forall \, x \, \in \,\emptyset : P(x)$ es falso. $\blacksquare$

Luego seguí leyendo y sorprendió por el libro es la prueba de que $\forall \, x \, \in \,\emptyset : P(x)$ es la verdad:

Después de la expansión de la abreviatura de los cuantificadores, $\forall \, x \, \in \,\emptyset : P(x) \quad \equiv \quad \forall \, x \, \left[\, x \, \in \,\emptyset \Longrightarrow P(x)\right]. \tag{*}$
Ahora de acuerdo a la tabla de verdad de la condicional conectivo, la sólo de esta manera se puede ser falso es si existe algún valor de a $x$ tal que $x \, \in \,\emptyset$ es verdad, pero de $P(x)$ es falso. Pero no hay tal valor de $x$, simplemente porque no hay un valor de $x$ que $x \, \in \,\emptyset$ es verdadero.
Por lo tanto, ( * ) (vacuously) verdadero.

Aunque entiendo que esta prueba y el Principio de la Explosión, que yo aún no entiendo el fracaso de mi intuición. Donde está el error(s)?

$\Large{2.}$ Sin tener en cuenta la $\exists \;x \D \; : P(x) \quad \mathop{\equiv}^{dfn} \quad \exists \;x \D \; \; [ \;x \en Un \wedge P(x) \; ]$,
cómo y por qué la segunda caja NO me seduce en creer como una vacua verdad $\exists \, x \, \in \, \emptyset : P(x)$?

Yo hice referencia 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. Fuente: P69 en Cómo Probar por Daniel Velleman.

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Suplemento para mercio de la Respuesta

Comprendo $\forall x \in \emptyset,P(x) \; \mathop{\equiv}^{\text{dfn}} \; \forall x, (\color{#B22222}{x\in \emptyset}\implies P(x)) \; \equiv \; \forall x,\color{#B22222}{false}\implies P(x)$.

Es idéntico y perfectamente correcto de la poda de los pasos anteriores (y la escritura) en la siguiente?
En $\forall\;\bbox[5px,border:2px solid #32CD32]{\, \color{#B22222}{\underbrace{{x\in\emptyset}}_{false}} \;,P(x)} \;$, ya que el cuadro verde es un vacuously verdadera implicación por lo tanto toda esta declaración es vacuously verdadero.

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Suplemento para mercio Comentario en Sep 2

Desde que usted escribió "la coma no es un conectivo", estás dando a entender que $\forall \; \color{#B22222}{\underbrace{{x\in\emptyset}}_{false}} \; \color{#0073CF}{\huge{,}} \;P(x) \quad \equiv \quad \forall \; \color{#B22222}{\underbrace{{x\in\emptyset}}_{false}} \; \color{#0073CF}{\huge{\require{cancel} \xcancel{,}}}\; P(x) \quad ? \tag{*}$

En el último, sin la coma, nada une"$\forall \; \color{#B22222}{{x\in\emptyset}}$"$P(x)$. Así que puedo brújula para entender el último de la fatuidad. No sé (siéntase libre de suponer) ¿por qué, pero creo que: $\forall \; \color{#B22222}{\underbrace{{x\in\emptyset}}_{false}} \; \color{#0073CF}{\huge{,}} \;P(x) \quad \equiv \quad \forall \; \color{#B22222}{\underbrace{{x\in\emptyset}}_{false}} \; \color{#0073CF}{{\huge{\text{,}}} \text{we have that}} \; P(x). \tag{**}$
Esta es la razón por la azul (caja verde) que viene a ser como una afirmación válida para mí?

Answer 1

Tienes razón cuando dices que forall $x$, la declaración de $x \in \emptyset$ es falso. Esto significa que $\forall x, \neg (x \in \emptyset)$, lo que equivale a $\forall x, x \notin \emptyset$. Perfectamente cierto.

Entonces usted dice: "la declaración de $\forall x \in \emptyset$ es falso". $\forall x \in \emptyset$ NO es una declaración, es una oración incompleta. Ya sea que usted escribe "$\forall x, P(x)$", escribe "$\forall x \in X, P(x)$", que es una abreviación de "$\forall x, (x \in X \implies P(x))$". "$\forall x \in \emptyset$" no es una declaración. No puede ser verdadero o falso.

$\forall x \in \emptyset, P(x)$ es una abreviación de $\forall x, (x \in \emptyset \implies P(x))$, que es equivalente (desde $x \in \emptyset$ es siempre falsa) a $\forall x, false \implies P(x)$. Después de mirar la tabla de verdad para $\implies$, esto es equivalente a $\forall x, true$ (lo $P(x)$), que es $true$.

Si desea refutar $\forall x \in \emptyset, P(x)$ tienes que mostrarme un $x \in \emptyset$ tal que $P(x)$ es falso. Así que usted nunca va a encontrar una $x \in \emptyset$.

Answer 2

De la OMI, es nuestra comprensión de lenguaje natural que nos lleva por mal camino aquí. El lenguaje Natural no es explícita de expresar ideas precisas; hay mucha ambigüedad y la implícita la inferencia de los involucrados.

En particular, no se habla acerca de "todo" a menos que haya (posiblemente hipotéticamente) en realidad algo para hablar.

Como usted está capacitado para hacer esta inferencia, cuando escuche "$\forall x \in \varnothing:P$", mentalmente agregar implícita la hipótesis de "$\exists x \in \varnothing$", que es donde está su intuición va mal.