¿Cuántas docenas de magdalenas diferentes son posibles?

Question

Problema

Caleb's Cupcakes vende cupcakes de terciopelo rojo, de crema de vainilla y de chocolate. Cuántas combinaciones diferentes son posibles para una docena de cupcakes en Caleb's?

Lo resolví mediante una distribución y encontrando todas las soluciones no negativas de $x+y+z = 12$ . ¿Qué tiene de malo este método?

Answer 1

Estrellas y barras

Hay varios enfoques. Uno es el Estrellas y barras enfoque. Este enfoque organiza $12$ estrellas y $2$ bares: $$ \overbrace{\star\star\star}^{\text{red velvet}}\mid\overbrace{\star\star\star\star\star}^{\text{vanilla cream}}\mid\overbrace{\star\star\star\star}^{\text{chocolate chip}} $$ Contando todas las disposiciones posibles de las estrellas y las barras se obtienen todas las combinaciones posibles de los tipos de magdalenas; es decir $\binom{14}{2}=91$ .

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Función generadora

También podemos desarrollar la función generadora del número de combinaciones de $n$ magdalenas. Considere el producto $$ \begin{align} &\overbrace{(1+x+x^2+x^3+\dots)}^{\text{red velvet}}\overbrace{(1+x+x^2+x^3+\dots)}^{\text{vanilla cream}}\overbrace{(1+x+x^2+x^3+\dots)}^{\text{chocolate chip}}\\[3pt] &=\frac1{(1-x)^3}\\[3pt] &=\sum_{n=0}^\infty\binom{-3}{n}(-x)^n\\ &=\sum_{n=0}^\infty\binom{n+2}{n}x^n\\ \end{align} $$ El coeficiente de $x^n$ es el número de soluciones no negativas de $a+b+c=n$ , donde $x^a$ se toma de la suma de terciopelo rojo, $x^b$ se toma de la suma de la crema de vainilla, y $x^c$ está tomada de la suma de chips de chocolate. Para ver por qué $(-1)^n\binom{-3}{n}=\binom{n+2}{n}$ , ver esta respuesta .

Configuración $n=12$ obtenemos $\binom{14}{12}=91$ .

Answer 2

Pues bien, si se aplican correctamente las estrellas y las barras, se obtiene $\binom{12+3-1}{3-1} = 91$

Answer 3

La respuesta general es ${n+r-1\choose r-1}$ por lo que al enchufar $n=12,r=3$ obtenemos $91$ Así que no hay nada malo en su método, sólo su aplicación está mal.