Geometría diferencial de curvas y superficies

Question

Estoy estudiando por mi cuenta la geometría diferencial utilizando el libro Intro to Smooth Manifold de Lee y la Geometría Riemanniana de Do Carmo. Sin embargo, nunca he estudiado el tema llamado "geometría diferencial de curvas y superficies" (como el que trata la Geometría Diferencial de Curvas y Superficies de Do Carmo). Como este tema trata exclusivamente del espacio tridimensional, no me atrae tanto como otros temas de GD hasta ahora.

¿Qué sentido tiene estudiar este tema? ¿Qué importancia tiene para los que luego van a estudiar GD más avanzada, especialmente Geometría de Riemann? Si crees que es una especie de asignatura optativa, ¿qué aprenderías en su lugar? Si crees que es una parte integral de la secuencia de DG, ¿podrías darme la razón de su importancia así como algunas de sus interesantes aplicaciones y teoremas?

Answer 1

No soy un experto y me interesaría una respuesta a mí mismo, pero algunas observaciones.

Creo que el estudio de la DG de curvas y superficies puede darte alguna intuición para el enfoque más general y después de haber estudiado la geometría de Riemann, algunos temas de las "curvas y superficies" son sólo casos especiales.

Sin embargo, una de las principales diferencias es que la DG de superficies y curvas se centra más en su incrustaciones a $\mathbb{R}^3$ y la teoría general de Riemann estudia más la intrínseco propiedades (las propiedades de las incrustaciones es sólo uno de los muchos temas que se estudian en la geometría de Riemann). En la GD de curvas y superficies, la única propiedad intrínseca es la curvatura gaussiana y la topología global de la superficie. La curvatura intrínseca de cualquier curva es cero, pero en los cursos de "DG de curvas y superficies" aprenderás que una curva tiene curvatura y torsión, que son de hecho propiedades de la incrustación. Esto puede resultar confuso en el primer encuentro.

Además, hay algunas cuestiones interesantes sobre las superficies, como la clasificación de las superficies con curvatura gaussiana constante, o el teorema de Gauss-Bonet (¡el teorema más bonito de este curso!) -- que no estoy seguro de cuáles son los teoremas que generalizan esto a dimensiones superiores.

Para responder a una de tus preguntas, no creo que la GD de curvas y superficies sea un requisito previo para la geometría general de Riemann.

Answer 2

Si te estás iniciando en la geometría diferencial, me atrevería a decir que el estudio de curvas y superficies es un necesario suplemento.

Para un geómetra principiante, las curvas y las superficies son esenciales porque son fáciles de visualizar, por lo que el desarrollo de técnicas específicas para trabajar con ellas ayudará a intuir las dimensiones superiores y facilitará la comprensión de los conceptos difíciles.

Como ejemplo, el teorema de Gauss-Bonnet para una Riemanniana cerrada $2n$ -manifold $(M,\mathrm{g})$ , donde $n>1$ se ocupa de integrar el pfaffiano de la forma de curvatura. Esto puede resultar complicado. Por otro lado, para $n=1$ obtenemos $$\chi(M)=\frac{1}{2\pi}\int_M K \omega,$$ donde $\chi(M)$ es la característica de Euler de $M$ , $K$ es la curvatura gaussiana, y $\omega$ es el formulario del área. Esto es maravillosamente limpio, y motiva el caso de la arbitrariedad $n$ .

El estudio de las curvas y las superficies también introducirá algunos trucos útiles con las tramas. No se utilizan muy a menudo, según mi experiencia, pero es útil conocerlos de todos modos.

Sin embargo, para asegurarme de que me queda claro, ¿ NO Despréndete de las herramientas modernas cuando estudies las curvas y las superficies. Desarrolle siempre la teoría en términos de las herramientas modernas. De lo contrario, los métodos que desarrolle a partir del estudio de curvas y superficies serán dolorosos de aplicar cuando intente utilizarlos en el entorno moderno.