No he podido resolver el siguiente problema de Análisis Complejo de Lieb. Sea $a_k$ sea una secuencia decreciente de números reales que convergen a $0$ y supongamos que el radio de convergencia de la serie $\Sigma_{k=0}^{\infty}a_kz^k$ es $1$ . ¿Cómo podemos demostrar que para cada $\delta>0$ la serie converge uniformemente en $\bar{\mathbb{D}}\setminus D_{\delta}(1)$ (lo que significa que 1 es el único punto en $\partial D$ a la que podría divergir)
La pista del libro es estimar la suma $(1-z)\Sigma_{k=m}^{n}a_kz^k$ .
He intentado hacer lo siguiente: Elegimos $\delta>0$ .
Reclamación $1$ : $(1-z)\Sigma_{k=m}^{n}a_kz^k$ es absolutamente uniformemente convergente en $M:=\{z ||z|<1 \textit{ and } |z-1|<\delta\}$ por lo que existe el índice $n_0$ tal que para todo $n>m>n_0$ y $z\in M$ $$|(1-z)\Sigma_{k=m}^{n}a_kz^k|<\delta$$ .
No estoy seguro de estar en el camino correcto, ¿podría alguien darme una pista, o alguna prueba más ordenada?
