En la página 390 de Topología y Groupoides discute la equivalencia de la categoría de Groupoides de Cobertura y la categoría de Espacios de Cobertura.
¿Podría alguien darme algunos ejemplos sobre cómo sería útil traducir los problemas topológicos en problemas sobre los groupoides de cobertura? No veo inmediatamente la utilidad.
Hay un espacio encantador llamado el espacio de configuración $C_n(\mathbb{R}^2)$ de $n$ puntos distintos desordenados en $\mathbb{R}^2$ con grupo fundamental el grupo de trenzas $B_n$ . Tiene un hermoso espacio de cobertura, a saber, el espacio de configuración ordenado $OC_n(\mathbb{R}^2)$ de $n$ puntos distintos ordenados en $\mathbb{R}^2$ su grupo fundamental es el grupo de trenzas puras $P_n$ y estos grupos encajan en una corta secuencia exacta
$$1 \to P_n \to B_n \to S_n \to 1.$$
Ahora, aquí hay una observación curiosa: el grupo simétrico $S_n$ actúa claramente de forma libre en $OC_n(\mathbb{R}^2)$ permutando los puntos, y el cociente por esta acción es el mapa de cobertura al espacio de configuración desordenado. Este mapa de cobertura se clasifica a su vez por $P_n$ como un subgrupo de $B_n$ utilizando la clasificación estándar de los espacios de cobertura en términos de subgrupos. Sin embargo, la clasificación estándar de los espacios de cobertura en términos de subgrupos es no una equivalencia de categorías, lo que significa que no puede abordar lo siguiente: la acción de $S_n$ en $OC_n$ hace no dan lugar a una acción sobre su grupo fundamental, porque la acción no tiene puntos fijos.
Sin embargo, la hace actúan sobre el grupúsculo fundamental de $OC_n$ y, por lo tanto, trabajar con groupoides de cobertura te permite hablar de esta cobertura de una manera que te permite seguir hablando de la $S_n$ acción en él también.
En general, la razón básica para preocuparse por los groupoides en lugar de pensar sólo en términos de colecciones de grupos es que los groupoides con estructura extra (en este caso, una acción de grupo) suelen ser mucho más interesantes que las colecciones de grupos con estructura extra.
Esta pregunta se solapa un poco con esta stackexchnge pregunta.
Sólo para contar un poco de historia personal sobre esto, en 1967 di una charla a un Math británico. Colloquium sobre el teorema de van Kampen, y después una persona se me acercó a la hora del té y me dijo: "Ha sido muy interesante. Llevo años utilizando los groupoides. Me llamo Mackey".
Me habló de su trabajo en groupoides ergódicos que implicaba acciones de grupos. Poco a poco me fui dando cuenta de que si dos personas podían llegar a esta idea desde dos direcciones muy diferentes, entonces había más en esta idea de grupoide de lo que había visto hasta entonces. Más tarde se vio que el trabajo de Mackey y el de sus alumnos influyó en el desarrollo del área de la geometría no conmutativa.
Decidí que era un error omitir las acciones de los grupos, los grupoides y los espacios de cobertura para mi libro de topología, y en el verano de 1967 escribí el capítulo en el que se daba un enfoque grupal a los espacios de cobertura. Quedé satisfecho con el resultado; las ediciones posteriores lo han desarrollado un poco, pero este enfoque sólo se ha adoptado parcialmente en otros lugares, y se considera idiosincrásico.
La redacción de este capítulo también llevó a la noción de Fibración de groupoides que resultó ser útil y apareció en ediciones posteriores del libro. Véase también arXiv:1207.6404 para los usos recientes de los groupoides.
Para la cuestión que nos ocupa, mi propio argumento es que un modelo algebraico de una cobertura mapa se ve mejor como una cobertura morfismo en lugar de una acción de un grupo, una descripción que también implica una elección del punto base. La noción de mapas de elevación es entonces convenientemente modelado algebraicamente por morfismos de elevación .
Pero insisto en que son los lectores quienes deben hacer sus propias comparaciones y juicios.
Nov 11, 2017 Otro punto es que el primer uso principal de los groupoides en la primera edición fue el teorema de van Kampen para el groupoide fundamental en un conjunto de puntos base, por lo que se obtiene fácilmente el grupo fundamental del círculo, y mucho más. A partir de ahí, resultaba interesante ver cómo el uso de los groupoides puede ser útil en otras áreas de la topología algebraica, como los espacios de cobertura y los espacios orbitales. En topología algebraica investigamos modelos algebraicos de situaciones topológicas. Para más información, véase documento reciente .
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