Inyección de $g_{1}:M_{2 \times 5}(\Bbb{R}) \rightarrow M_{5 \times 5}(\Bbb{R})$ ?

Question

Esta es una pregunta de seguimiento a - Dimensión de $W_{2}$ ?

Definamos $B = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ -3 & 1\\ 1 & 0\\ 0 & -2\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}$

$C = \begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 & 1 & 0\\ -2 & 1&1&0&1\\ \end{bmatrix}$ .

Definamos $g_{1}: M_{2 \times 5}(\Bbb{R}) \rightarrow M_{5 \times 5}(\Bbb{R})$ definido por $g_{1}(Z) = BZ$ definido por $2\times5$ matriz $Z$ .

Estaba pensando

1) Inyección de $g_{1}$ -

Dejemos que $g_{1}(P) = g_{1}(Q)$ entonces si mostramos $P =Q$ hemos terminado, pues $P,Q \in M_{2 \times 5}(\Bbb{R})$

$BP =BQ$ pero no puedo aplicar la inversa de $B$ ya que no es una matriz cuadrada?

2) Tengo que demostrar que la imagen de $g_{1}$ es un subespacio de $W_{1}$ ? Pensé en esto como -

si eso ocurre entonces tengo que demostrar que $g_{1}(Z) = BZ \in W_{1}$ es decir $BZ(X) = 0$ Pero, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

$g_1$ es inyectiva.

Intentemos encontrar un $5\times 2$ matriz $D$ tal que $DB=I_{2\times2}$ . Para el $B$ hay varias opciones posibles de $D$ Por ejemplo, este es bastante fácil de ver: $$D=\begin{pmatrix}0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}.$$ Si definimos $h_1(X)=DX$ , entonces obtenemos que $h_1\circ g_1=id$ desde $$h_1(g_1(Z))=DBZ=Z.$$ Desde $h_1\circ g_1$ es inyectiva, $g_1$ también es inyectiva. (Ver, por ejemplo, Funciones compuestas y uno a uno o Demuestre que si $g \circ f$ es inyectiva, entonces también lo es $f$ . .)

** Es $\operatorname{Im} g_1$ un subespacio de $W_1$ ? ** Supongo que como en la pregunta enlazada te refieres a $W_1=\{X\in M_{5\times5}; AX=0\}$ .

Así que esto es básicamente la cuestión de si $ABZ=0$ por cada $Z\in M_{2\times5}$ .

Aquí $AB$ es un $5\times 2$ matriz y $Z$ es un $2\times 5$ matriz. Obsérvese que al hacer la elección de $Z$ apropiadamente puede lograr eso $(AB)Z$ contiene como una de las columnas la primera columna de $AB$ . Por ejemplo, puede utilizar $Z=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$ . Y como este producto es cero, se obtiene que la primera columna de $AB$ tiene que ser cero. Un argumento similar funciona para otras columnas.

Así que esta condición será verdadera si y sólo si $AB=0$ .

Answer 2

Para demostrar la primera parte, observe que $BX=O$ , siempre que $[Bx_1\ \ Bx_2\ \ Bx_3\ \ Bx_4\ \ Bx_5]$ es cero, donde $x_1,\ldots x_5$ son $2\times 1$ vectores. Ahora, observa que cada uno de $x_1\ldots,x_5$ deben ser los vectores cero, ya que el rango de $B$ es $2$ y podríamos utilizar el teorema de nulidad de rango, y cada uno de esos vectores debería pertenecer al espacio nulo. Por lo tanto, el núcleo de $g_1$ siendo trivial , obtenemos $g_1$ sea inyectiva.

En cuanto a la segunda parte, la has entendido mal. Debemos verificar si $ABZ=0$ . Sin embargo, tengo todas las entradas a cero en $ABZ$ excepto uno. Puede haber algún error de impresión en las entradas de $B$ o $A$ . Es decir, tengo $AB$ cerca de cero, lo que daría la conclusión deseada.