Expresión integral de la función de Bessel modificada de segundo tipo $K_\nu(x)$ para $\nu=1$ .

Question

Para una variable real $x$ y $x>0$ La expresión integral para la función de Bessel modificada de segundo orden $\nu$ es $$K_\nu(x)=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x\cosh t}\cosh(\nu t)dt.$$ Consideremos el caso $\nu=1$ tal que $$K_1(x)=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x\cosh t}\cosh(t)dt.$$ A continuación, hacemos un cambio de variable: $$y=x\cosh(t)\Rightarrow dy=x\sinh(t) dt$$ para que la expresión de $K_1(x)$ se reduce a $$K_1(x)=x^{-1}\int\limits_{0}^{\infty}ye^{-y}(y^2-x^2)^{-1/2}dy.$$

Pero esto no concuerda con la expresión de la Ec.( $11.69$ ) dado aquí . En esta expresión $z$ es una variable real con $z\geq 0$ y es lo mismo que $x$ en mi notación. ¿Cuál es el error que he cometido?

Answer 1

El límite inferior de su (última) integral debe ser $x$ . Para obtener $(11.69)$ de la misma, sólo integrar por partes: $$xK_1(x)=\left.e^{-y}\sqrt{y^2-x^2}\right|_{y=x}^{y=\infty}-\int_x^{\infty}(-e^{-y})\sqrt{y^2-x^2}\,dy=\ldots$$