Y además, ¿un jacobiano constante y distinto de cero implica que la función es invertible?
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Matthew Scouten
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Supongo que te refieres a la matriz jacobiana, en lugar de al determinante jacobiano (pero mira el Conjetura jacobiana ).
Si la función diferenciable $F: \mathbb R^m \to \mathbb R^n$ tiene una matriz jacobiana constante $J$ entonces $F(b) - F(a) = \int_\Gamma J \; dx = J \; (b - a)$ donde $\Gamma$ es el segmento de línea recta desde $a$ a $b$ . Esto dice $F$ es afín: $F(x) = F(0) + J \; x$ . Sin embargo, no hay ninguna razón para $F(0)$ para ser $0$ Así que no es necesariamente lineal.
Si además $J$ es invertible (no sólo distinto de cero), entonces la multiplicación por $J$ es una función invertible.
teddy
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Para tu primera pregunta, un jacobiano constante no significa necesariamente que la función sea lineal.
Para tu segunda pregunta, no necesitas que el jacobiano sea constante, sólo necesitas que sea distinto de cero. El teorema de la función inversa dice que para $E,F$ son espacios lineales normados, para algún abierto $U\subseteq E$ , $x_0\in U$ y $f:U\to F$ es un $C^1$ es decir, es diferenciable y la derivada, como mapa lineal, es continua; si $f'(x_0):E\to F$ es invertible entonces $f$ es localmente $C^1$ invertible en $x_0$ y si $\varphi$ es su inversa local, y $y=f(x)$ entonces $\varphi'(y)=f'(x)^{-1}$ .
Para un ejemplo concreto, veamos $f,g\in C^1$ y que $\varphi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ sea dada por $$ \varphi(x,y)=(x+x^2f(x,y),y+y^2g(x,y))$$ Después de algunos cálculos, se puede encontrar que el jacobiano de $\varphi$ en $(0,0)$ es: $$ [\varphi'(0,0)] = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$$ Diciéndonos que $\varphi$ es localmente $C^1$ invertible en $(0,0)$ que debería tener sentido por la inspección de $\varphi$ se observa que es una perturbación del mapa de identidad por esos términos de segundo orden. De forma similar, consideremos la función con valor vectorial $h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ definido por $$ h(x,y)=\begin{pmatrix} e^x\cos y\\ e^x\sin y\\ \end{pmatrix}$$ La matriz jacobiana es: $$J_h(x,y) = \begin{pmatrix} e^x\cos y & -e^x\sin y \\ e^x\sin y & e^x\cos y\\ \end{pmatrix}$$ con determinante $\det J_h(x,y)=e^{2x}\cos y+e^{2x}\sin y=e^{2x}\neq 0$ en todas partes. Así que por el teorema de la función inversa, para cada punto $z\in \mathbb{R}^2$ existe una vecindad sobre $z$ sobre el cual $h$ es invertible, pero esto no significa que $h$ es invertible en todo su dominio ya que ni siquiera es inyectiva $(h(x,y)=h(x,y+2\pi))$ .
