La matriz de potencia $2012$

Question

Cómo calcular el $A^{2012}$?

$A = \left[\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1\end{array}\right]$

¿Cómo se puede calcular esto? Debe ser complicado o algo, es que hay sólo 1 punto por la solución de este.

Answer 1

Observar que $A^2$$A$.

Por lo $A^{\large2012}$$A$.

Answer 2

$$A = \left[\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1\end{array}\right]$$ $$A^2=\left[\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1\end{array}\right]$$

$$A^2 = \left[\begin{array}{ccc}{9-2-4}&{-3+2}&{-6+2+2}\\{6-4}&{-2+2}&{-4+2}\\{6-2}&{-2+1}&{-4+2+1}\end{array}\right]$$ $$A^2 = \left[\begin{array}{ccc}3&-1&-2\\2&0&-2\\2&-1&-1\end{array}\right]$$ $$A^2=A$$

$$A=A^2=A^3=\cdots =A^n,n\in N$$

por lo $$A^{2012}=A$$

Answer 3

Sugerencias:

• Diagonalize (Forma Normal de Jordan) la matriz de $A = P J P^{-1}$
• Tome ventaja de la diagonalización, de tal manera que $A^{2012} = P J^{2012} P^{-1}$

Answer 4

Este ejemplo en particular, como se señaló anteriormente, es fácil.

Más generalmente, se puede utilizar una técnica llamada "exponenciación a través de cuadratura." (Desde el primer paso de esta operación es la plaza de $A$, llevaría inmediatamente a ver que $A^2=A$, por lo que no tendría que hacer toda la operación.)

O podría escribir el polinomio característico $p(x)=\det(x I-A)$. A continuación, dividir el polinomio $x^{2012}$ $p(x)$ para obtener un polinomio de grado $\leq 2$. Que es:

$$x^{2012} = p(x)q(x) + r(x)$$

A continuación,$A^{2012} = r(A)$. Así que sólo tienes que calcular $A^2$ a y $r(x)$ a averiguar $A^{2012}$.

(La división de polinomios podría parecer que se requiere más operaciones que la "exponenciación al cuadrado," pero en realidad es bastante equivalente, creo que hay una manera de calcular $r(x)$ que es equivalente a "exponenciación al cuadrado.")

Answer 5

Esta particular de la matriz satisface $A^2 = A$. Por lo tanto $A^{2012} = A$.