Significado de la notación $\mathbb{A}^{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}$

Question

Estoy familiarizado con la notación como

• $\mathbb{R}^x$ (es decir, el conjunto de todas las tuplas x con elementos reales)
• $\mathbb{A}\times \mathbb{B}$ (siendo el conjunto de todos los pares cuyo primer elemento es de $\mathbb{A}$ y el segundo elemento de $\mathbb{B}$ .

Pero, ¿qué hace la notación $\mathbb{A}^{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}$ ¿quieres decir?

Answer 1

Normalmente, la notación $A^B$ denota el conjunto de todas las funciones de $B$ a $A$ .

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Esto tiene sentido porque, en cierto sentido, $\mathbb R^3$ puede verse como el conjunto de todas las funciones de $\{1,2,3\}$ a $\mathbb R$ . Esto se debe a que

1. cualquier función $f$ de $\{1,2,3\}$ a $\mathbb R$ puede representar un elemento de $\mathbb R^3$ como $[f(1), f(2), f(3)]$ y
2. cada elemento $[x_1,x_2,x_3]$ de $\mathbb R^3$ representa una función de $\{1,2,3\}$ a $\mathbb R$ , concretamente la función para la que $f(1)=x_1, f(2)=x_2$ y $f(3)=x_3$ .

Esto se generaliza incluso si sustituimos $3$ con un conjunto infinito. Por ejemplo, $\mathbb R^\mathbb N$ puede verse como el conjunto de secuencias de números reales, por lo que un elemento sería $[x_1,x_2,x_3,\dots]$ pero, al mismo tiempo, se trata también de un mapeo de $\mathbb N$ a $\mathbb R$ (uno que mapea $1$ a $x_1$ , $2$ a $x_2$ etc.).

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En general entonces, $A^B$ denota simplemente un conjunto en el que cada elemento es un " $|B|$ -tupla", es decir, cada elemento es un mapeo que mapea cada elemento de $B$ a algún elemento de $A$ . Una función de $\mathbb R $ a $\mathbb R$ no es más que un objeto que, para cada número real $x$ , persigue otro número real $y$ . Es sólo nuestra decisión de denotar esto como $f(x)=y$ .

Answer 2

El conjunto de todas las funciones de $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ en $\mathbb{A}$ . En general, $A^B$ suele referirse al conjunto de funciones de $B$ en $A$ .

De hecho, la notación $\mathbb{R}^n$ coincide con esto; si consideramos algunos $n$ -conjunto de elementos, como $\{0,\ldots, n-1\}$ , entonces un $n$ -es exactamente un mapa $\{0,\ldots, n-1\} \to \mathbb{R}$ .