Prueba de la transformación de rotación extrínseca a intrínseca

Question

Wikipedia afirma que:

Cualquier rotación extrínseca es equivalente a una rotación intrínseca por los mismos ángulos pero con el orden invertido de las rotaciones elementales, y viceversa. Por ejemplo, las rotaciones intrínsecas $x-y’-z''$ por ángulos $\alpha, \beta,\gamma$ son equivalentes a las rotaciones extrínsecas $z-y-x$ por ángulos $\gamma, \beta, \alpha$ .

¿Existe una prueba sencilla de por qué esto es así?

Answer 1

He buscado en Internet, pero tampoco he encontrado mucho material sobre este tema. Las referencias más relevantes son de Wikipedia como sugirió @Apoo, y un blog la prueba está al final de la página . Aunque los argumentos son bastante completos, ninguno de ellos pudo convencerme. Para demostrar la afirmación, tengo que introducir primero el cambio de una transformación entre sistemas de coordenadas. Hay una derivación de blender stackexchange y extraigo la ecuación de la siguiente manera: $$ T_{\text {world}}=S_{\text {world}} \times T_{s} \times S_{\text {world}}^{-1}, \tag{1} $$ donde $T_{\text {world}}$ es la matriz de transformación en el sistema de coordenadas mundial, $S_{\text {world}}$ es la matriz mundial del objeto referenciado $s$ , $T_{s}$ es la matriz de transformación local basada en $s $ .

Supongamos que un ángulo intrínseco de Euler puede representarse como un producto de tres matrices de rotación $$ R = Z^{\prime \prime}(\gamma) Y^{\prime}(\beta) X(\alpha). $$

El objetivo es demostrar que existe una secuencia de rotación extrínseca, s.t.

$$ Z^{\prime \prime}(\gamma) Y^{\prime}(\beta) X(\alpha) = X(\alpha)Y(\beta)Z(\gamma). $$

Considere $Y(\beta)$ como una matriz de rotación alrededor de $y^\prime$ del ángulo $\beta$ en relación con $x^\prime - y^\prime - z^\prime$ sistema de coordenadas, podemos obtener la correspondiente matriz de rotación en $x-y-z$ sistema de coordenadas utilizando la conversión eq. $(1)$ : $$ Y^\prime = X Y X^{-1}, $$ se deduce que $$ Y = X^{-1} Y^\prime X . \tag{2} $$ Mediante un argumento similar, también podemos obtener la matriz de rotación mundial del ángulo $\gamma$ alrededor de $z^{\prime \prime}$ en $x-y-z$ sistema de coordenadas: $$ Z^{\prime \prime} = (Y^\prime X) Z (Y^\prime X)^{-1}, $$ y se deduce que $$ Z = (Y^\prime X)^{-1} Z^{\prime \prime} (Y^\prime X). \tag{3} $$

Multiplicando $X$ por eq. $(2)$ y eq. $(3)$ obtenemos $$ \begin{align} X Y Z &= X X^{-1} Y^\prime X (Y^\prime X)^{-1} Z^{\prime \prime} (Y^\prime X) \\ &= Z^{\prime \prime} Y^{\prime} X , \end{align} $$ lo que completa la prueba.

Answer 2

La afirmación es válida no sólo para las rotaciones. Según la relatividad, no hay un marco de referencia / sistema de coordenadas preferido. Por lo tanto, en la cinemática, todos los (tiempos y) posiciones y movimientos son relativos. (La dinámica, con las fuerzas, es otra cosa).
Consideremos un ejemplo bidimensional, como se ha encontrado en un libro sobre Informática Gráfica (para ser precisos: J.D. Foley, A. van Dam, Fundamentos de la infografía interactiva , 1982). Hay dos marcos de referencia, uno unido al observador (mundo), otro unido a un objeto (silla):

Con una transformación de coordenadas, lo único importante es el relativa posición del objeto con respecto al observador. Esto significa que el resultado final de una transformación de coordenadas puede conseguirse al menos de dos maneras. Como se muestra en el ejemplo:

• Extrínseco.   Girar $\,R\,$ la silla en el sistema de coordenadas mundial sobre un ángulo de $45^o$
  y luego Traducir $\,T\,$ a distancia $(4,10)$ . De este modo, se produce una transformación $\,TR$ .
• Intrínseco.   Traducir $\,T^{-1}\,$ el observador en el sistema de coordenadas de la silla a una distancia $(-4,-10)$ y luego girar $\,R^{-1}\,$ el sistema de coordenadas mundial sobre un ángulo $-45^o$ . De este modo, se produce una transformación $\,R^{-1}T^{-1}$ .

Con este sencillo ejemplo, podemos ver inmediatamente que las transformaciones son las inversa entre sí: $\,R^{-1}T^{-1}= (TR)^{-1}$ .
Espero que te hagas una idea. Se espera que la generalización de esto a tres dimensiones sea una cuestión de rellenar el (algo más complicado) de los tecnicismos.

Actualización. Hmm, "no es una prueba". Entonces tal vez esto.
Dejemos que el sistema de coordenadas del objeto se llame $O$ y el sistema de coordenadas mundial se llame $W$ . Ambos sistemas de coordenadas son coincidentes al principio.
El primer paso es aplicar una transformación $R$ a $O$   (como en el ejemplo, pero en general ahora).
El segundo paso es hacer $W$ coincidiendo de nuevo con $O$ que se realiza aplicando la misma transformación $R$ a $W$ como se ha hecho en el primer paso con $O$ .
Entonces efectivamente nada ha cambiado y tenemos de nuevo la configuración original: el producto del paso (1) y el paso (2) es la identidad.
Por lo tanto, es obvio que el primer paso también se podría haber realizado aplicando la inversa $R^{-1}$ transformación a $W$ en lugar de $O$ .
Común propiedades de las operaciones inversas como $(AB)^{-1}= B^{-1}A^{-1}$ se supone que son bien conocidos. Con esto se completa la demostración.

Answer 3

Hola no soy un experto en transformaciones de matrices de rotación pero revisando algunas cosas para mi tesis, me encontré con el siguiente enlace : https://en.wikipedia.org/wiki/Davenport_chained_rotations Si se desplaza hacia abajo en la página hasta la sección - La prueba de la conversión en el caso de la pre-multiplicación. Creo que esto es lo que estás buscando. Yo estaba buscando una respuesta a lo mismo. Espero que te sirva de ayuda... ¡¡¡Suerte con tu trabajo!!!