Tensor de energía-momento en la geometría de Riemann-Cartan

Question

Estoy tratando de derivar el tensor de energía-momento de un campo de Dirac definido sobre un fondo de Riemann-Cartan que es un espacio con una conexión compatible con la métrica y torsión no nula .

La acción es

$$S = \int_M \mathrm{d}^{3+1}x |e| \frac{i}{2} ( \bar{\psi} \gamma^\mu D_\mu \psi - \overline{D_\mu \psi} \gamma^\mu \psi )$$

donde $D_\mu \psi= \partial_\mu \psi - \frac{1}{8} \omega_{\mu a b} [ \gamma^a, \gamma^b ] \psi$ . El tensor energía-momento se define como

$$T^a_\mu \propto \frac{1}{|e|} \frac{\delta S}{\delta e^\mu_a}$$

Esencialmente, necesito evaluar la variación de $S$ con respecto a $e$ . Ahora no estoy seguro de cómo la conexión de giro $\omega_{\mu a b}$ varía bajo una variación de la tétrada $e$ . Estoy al tanto de esta respuesta aquí pero es para un espacio con torsión cero . Podemos dividir la conexión de espín como

$$\omega_{\mu a b} = \tilde{\omega}_{\mu a b} + K_{\mu a b}$$

donde $\tilde{\omega}_{\mu a b}$ la conexión Levi-Civita y $K_{\mu a b}$ es el tensor de contorsión. $\tilde{\omega}_{\mu a b}$ depende de la dreibein y sé cómo esto varía bajo $e_a^\mu$ pero ¿cómo $K_{\mu a b}$ varían con respecto a $e^\mu_a$ ?

Answer 1

Espero que un $2\times 2$ ejemplo será suficiente para empezar :-)

Desde $\mathrm{fl}(a+b)=(a+b)(1+\delta_+)$ y $\mathrm{fl}(a\times b)=ab(1+\delta_{\times})$ para los escalares $a$ y $b$ , donde $|\delta_+|\leq u$ y $|\delta_{\times}|\leq u$ con el redondeo de la unidad $u$ tenemos $$\mathrm{fl}(AB)= \begin{bmatrix} a_{11}b_{11}(1+\delta_1) & (a_{11}b_{12}(1+\delta_2)+a_{12}b_{22}(1+\delta_3))(1+\delta_4) \\ 0 & a_{22}b_{22}(1+\delta_5) \end{bmatrix}$$ con $|\delta_i|\leq u$ ( $i=1,\ldots,5$ ). Esto se puede escribir como $\mathrm{fl}(AB)=\tilde{A}\tilde{B}$ , donde $$\tilde{A}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}(1+\delta_3)(1+\delta_4) \\ 0 & a_{22}(1+\delta_5)\end{bmatrix}, \quad \tilde{B}=\begin{bmatrix} b_{11}(1+\delta_1) & b_{12}(1+\delta_2)(1+\delta_4) \\ 0 & b_{22} \end{bmatrix}.$$

Lo siguiente se utiliza mucho en el análisis del error de redondeo: Sea $|\delta_i|\leq u$ , $\sigma_i=\pm 1$ para $i=1,\ldots,n$ y $nu<1$ (por supuesto, normalmente se asume que $nu$ es realmente mucho más pequeño que 1). Entonces $$\prod_{i=1}^n(1+\delta_i)^{\sigma_i}=1+\epsilon_n,$$ donde cualquiera de ellos toma sólo la aproximación de primer orden: $$|\epsilon_n|\leq nu+O(u^2),$$ o un límite más preciso: $$|\epsilon_n|\leq \frac{nu}{1-nu} \equiv \gamma_n.$$ La elección depende de las preferencias personales :-)

Utilizando lo anterior tenemos que $\tilde{A}=A+E_A$ , $\tilde{B}=B+E_B$ con el global límites de los componentes $$|E_A|\leq \gamma_2|A|, \quad |E_B|\leq \gamma_2|B|.$$ A partir de esto ya se pueden derivar límites para su norma . A partir de los límites de los componentes es bastante fácil obtener un límite, por ejemplo, para el $\infty$ -normas: $$\|E_A\|_{\infty} = \||E_A|\|_{\infty} \leq \gamma_2\||A|\|_{\infty} = \gamma_2\|A\|_{\infty}.$$ Si te gustan otras normas, por ejemplo, la espectral, puedes utilizar simplemente las relaciones de equivalencia $\frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_{\infty}\leq\|A\|_2\leq\sqrt{n}\|A\|_{\infty}$ . Tenga en cuenta que habrá un factor adicional $n$ en el límite resultante: $$\|E_A\|_2 \leq 2n^2u\|A\|_2 + O(u^2).$$

Espero que esto ayude al general $n\times n$ caso :-)