Estoy tratando de derivar el tensor de energía-momento de un campo de Dirac definido sobre un fondo de Riemann-Cartan que es un espacio con una conexión compatible con la métrica y torsión no nula .
La acción es
$$ S = \int_M \mathrm{d}^{3+1}x |e| \frac{i}{2} ( \bar{\psi} \gamma^\mu D_\mu \psi - \overline{D_\mu \psi} \gamma^\mu \psi ) $$
donde $D_\mu \psi= \partial_\mu \psi - \frac{1}{8} \omega_{\mu a b} [ \gamma^a, \gamma^b ] \psi$ . El tensor energía-momento se define como
$$ T^a_\mu \propto \frac{1}{|e|} \frac{\delta S}{\delta e^\mu_a}$$
Esencialmente, necesito evaluar la variación de $S$ con respecto a $e$ . Ahora no estoy seguro de cómo la conexión de giro $\omega_{\mu a b}$ varía bajo una variación de la tétrada $e$ . Estoy al tanto de esta respuesta aquí pero es para un espacio con torsión cero . Podemos dividir la conexión de espín como
$$ \omega_{\mu a b} = \tilde{\omega}_{\mu a b} + K_{\mu a b}$$
donde $\tilde{\omega}_{\mu a b}$ la conexión Levi-Civita y $K_{\mu a b}$ es el tensor de contorsión. $\tilde{\omega}_{\mu a b}$ depende de la dreibein y sé cómo esto varía bajo $e_a^\mu$ pero ¿cómo $K_{\mu a b}$ varían con respecto a $e^\mu_a$ ?