El Dirichlet $\eta$ -función se define como: $$\eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} \qquad \Re(s) > 0$$
y tiene la continuación analítica completa:
$$\eta(s) = \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} + \frac{(-1)^N}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(N+1/2 +ix)^{-s}}{\cosh(\pi x)}\,dx \qquad s \in \mathbb{C} \tag{1}$$
válido para todos los enteros $N \ge 0$ .
Me preguntaba qué pasaría por el negativo $N$ y se encontró numéricamente que:
$$\eta(s) = \sum_{n=1}^{-N-1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} + (-1)^{s+1}\,\frac{(-1)^N}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(N+1/2 +ix)^{-s}}{\cosh(\pi x)}\,dx\qquad s \in \mathbb{Z} \tag{2}$$
válido para todos los enteros $N < 0$ .
Nota: suponer que las sumas son cero cuando sus valores finales son $< 1$ .
Pregunta:
¿Hay alguna manera de expandir también la ecuación (2) a $s \in \mathbb{C}$ ? Si es posible, creo que esto requeriría alguna continuación inteligente del $(-1)^{s+1}$ factor. Experimentado con funciones como $\cos\left(\pi(s+1)\right)$ pero todavía no ha tenido éxito.
AÑADIDO:
Para el Dirichlet $\beta$ -función se aplica el mismo fenómeno y la misma pregunta:
$$\beta(s) = \sum_{n=1}^N \frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^s} + \frac{(-1)^N}{2^{s+1}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(N +ix)^{-s}}{\cosh(\pi x)}\,dx \qquad s \in \mathbb{C} \tag{3}$$
para todos $N \ge 0$ , excepto en $N=0$ el dominio se reduce a $\Re(s) < 1$ .
$$\beta(s) = \sum_{n=1}^{-N} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)^s} + (-1)^s\,\frac{(-1)^N}{2^{s+1}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(N +ix)^{-s}}{\cosh(\pi x)}\,dx \qquad s \in \mathbb{Z} \tag{4}$$
para todos $N \lt 0$ .
