Encontrar todas las soluciones enteras de $p^n+n=(n+1)^k$ donde p es un primo de la forma $2^m+1$

Question

Encuentra todas las soluciones enteras de : $$p^n+n=(n+1)^k,$$

donde $p$ es un primo de la forma $2^m+1$ .

Intenté usar la expansión binomial y sustituir $n$ con $c\times 2^m$ donde c es un número real... pero esto parece no llegar a ninguna parte.

Answer 1

No es una respuesta completa (Observaciones/Investigación):

• Por el Teorema del Resto Polinómico, tenemos que el RHS tiene resto 1 en la división por $n$
• Por observación, el LHS tiene el mismo resto que $p^n$ Que por la afirmación anterior, y la igualdad, significa que tiene resto 1.
• Por una consecuencia del teorema de Lagrange en teoría de grupos, tenemos que el orden de $p \pmod n$ divide el orden del grupo $Z/nZ$ .
• Por el teorema del totiente de Euler, tenemos que el orden del grupo, divide $\varphi (n)$ lo que implica, a través de las observaciones anteriores, que $n\over \varphi (n)$ es un número entero.
• Suponiendo que $n$ es primo por un momento, obtenemos que el LHS es $p\pmod n$ Por lo tanto, implica $p\equiv 1\pmod n$ por las observaciones anteriores. Esto implicaría además que, $n$ divide $p-1$ que es una potencia de 2
• etc.