Raíces de $e^{(z^{2})}=1$

Question

Estoy buscando raíces complejas de $e^{(z^{2})}=1$ en el interior del círculo |z|=3. He encontrado $0, \sqrt{\pi}\cdot \{1+i,1-i,-1+i,-1-i\}$ . Es eso, wolfram alpha no ayuda:/

Gracias

Answer 1

Su respuesta es correcta.

Dejemos que $z = x + iy$ por lo que tenemos: $$ e^{z^2}=1 \iff e^{x^2-y^2}e^{2ixy} = 1 \iff \left\{ \begin{align}x^2-y^2&=0,\\ 2xy &= 2k\pi,\ k\in\mathbb Z.\end{align}\right. $$

Por lo tanto, teniendo en cuenta los aspectos positivos y negativos $k$ terminamos con casos en los que $x = y$ o $x = - y$ Así que $z = \sqrt{k\pi}(\pm 1 \pm i),\ k\in\mathbb N$ .

Finalmente, $|z|\leq 3 \iff \sqrt{2k\pi} \leq 3 \iff k \leq \frac 9{2\pi}\iff k = 0,1.$ Estos dan las 5 soluciones que has enumerado.

Aquí hay un enlace de Wolfram Alpha para las soluciones.