Teoría de grupos a través de la Categoría de Teoría

Question

Anteriormente he realizado un curso en teoría de grupos y ahora estoy haciendo un curso de lectura en la categoría de teoría. Así como un interesante ejercicio que me han pedido que escriba una exposición de la teoría de grupos para alguien que ya conoce la categoría de teoría, pero no sabe nada de teoría de grupos. Me han dado la libertad de decidir cómo construir la teoría. Ya tengo una idea vaga de lo que se debe hacer.

1. Sin embargo, me gustaría escuchar ideas acerca de lo que debe ser hecho. Así que me pida asesoramiento sobre las cosas que debo destacar, las maneras en que puedo explotar dada la familiaridad con la categoría de la teoría de la forma más económica de presentación y/o exposición a través de "el camino de la menor resistencia". Y por favor, siéntase libre de mencionar también los consejos y precauciones de uso.
2. Por favor darme el material a lo largo de esta línea.

Gracias!

Answer 1

Aquí un poco de alimento para el pensamiento (aunque ni de cerca suficiente material):

1. Un groupoid es una categoría en la que todos los morfismos es un isomorfismo (es decir, todos los morfismos son invertible). Groupoids son una oidification del concepto de "grupo"; en otras palabras, un grupo es sólo un objeto groupoid.

2. La inclusión $\mathbf{Grp} \hookrightarrow \mathbf{Grpd}$ no conserva los co-productos. De ahí el subproducto de grupos es parte de lo que le da el grupo de teoría de su propio sabor especial, distinta de la del sabor de groupoid teoría. (Tal vez el uso de la cuña suma de niza espacios topológicos para motivar el grupo de teoría de subproducto en su propio derecho, ya que el grupo fundamental de una cuña de suma es el subproducto de la fundamental grupos bajo ciertas condiciones generales.)

3. El grupo es solo un conectada groupoid, hasta equivalencia. Por lo tanto todos los (pequeños) groupoid es el (groupoid de la teoría de la) subproducto de un conjunto indexado de la familia de los grupos, hasta equivalencia. Mirándolo de otra forma, los grupos son algo así como los "átomos" de la cual podemos construir cualquier groupoid. (Tenga en cuenta que la misma relación no se sostiene entre monoids y categorías).

4. Deje $\mathbf{C}$ denotar una categoría. A continuación, el isomorphisms de $\mathbf{C}$ formar un groupoid llamado el núcleo de $\mathbf{C}$, típicamente, denotado $\mathrm{core}(\mathbf{C}).$ Ahora considere el automorphism función de $\mathrm{Aut}_\mathbf{C} : \mathrm{Obj}(\mathbf{C}) \rightarrow \mathbf{Grp}$ que toma cualquier objeto $X$ $\mathbf{C}$ a su grupo de automorfismos $\mathrm{Aut}_\mathbf{C}(X).$ Esto no puede ser considerado como un functor de $\mathbf{C}$ en cualquier forma sensata. Sin embargo, puede ser considerado como un functor de $\mathrm{core}(\mathbf{C})$.

5. La acción de un grupo de $G$ en un conjunto ("$G$- ") es, precisamente, un objeto de la categoría functor $[G,\mathbf{Set}].$ Más en general, la acción de un grupo de $G$ "foo" es simplemente un objeto de $[G,\mathbf{Foo}]$ donde $\mathbf{Foo}$ es la categoría de los foos. Esto tiene sentido, incluso si $G$ es permitido en general la groupoid, o incluso una categoría general.

   Esto explica por qué cada homomorphism $\varphi : G \rightarrow H$ de los grupos da lugar a un functor $[H,\mathbf{Set}] \rightarrow [G,\mathbf{Set}]$ "va para otro lado"; es por $\mathrm{Hom}$ es contravariante en su primer argumento.

6. Podemos considerar que los objetos de grupo en cualquier categoría con productos finite (tenga en cuenta que no necesitamos ni límites finitos; finito de productos va a hacer). Por ejemplo, el grupo de objetos en $\mathbf{Top}$ (la categoría de espacios topológicos) son precisamente los grupos topológicos.

7. Dado un monoid $M$ cada $M$-establecer $X$ se asocia con una categoría $\tilde{X}$ llama su "traducción de la categoría," que se define como sigue. El conjunto de objetos de $\tilde{X}$ es sólo el conjunto subyacente de $X$. Objetos dados $x,y \in X$, podemos definir que una flecha $x \rightarrow y$ está a sólo un par de $(x,m)$ tal que $m \in M$$mx = y$. La composición de las flechas es por multiplicación. Explícitamente:

   $$(x,m_y)(y,m_z) = (x,m_z m_y).$$

   Además, si $G$ es un grupo y $X$ $G$- establecer, a continuación, la traducción de la categoría $\tilde{X}$ $X$ es siempre un groupoid, llamado la traducción groupoid de $X.$ Nota también de que cada monoid actúa sobre sí mismo por la izquierda de la multiplicación. Por lo tanto, dado un monoid $M$, podemos pensar de $M$$M$, y por lo tanto podemos escribir $\tilde{M}$ y hablar de la traducción de la categoría de $M$. Como caso especial, si $G$ es un grupo, podemos escribir $\tilde{G}$ y hablar de la traducción groupoid de $G$.

8. Para algo un poco más avanzado, George Bergman ha recientemente se muestra cómo definir los conceptos de "interior automorphism" y "interior endomorfismo" para los objetos de una categoría arbitraria. Esto podría ser un interesante punto de vista de la toma en su propio informe.

Answer 2

Usted puede desear mirar en Paolo Aluffi del libro llamado Álgebra Capítulo cero. Él comienza a hablar acerca de las categorías primera y, a continuación, introduce los grupos. Él dice que un grupo es un groupoid (categoría en la que todos los morfismos es invertible) con un solo objeto.

Answer 3

En el [sub]tema de la bibliografía, hay un capítulo razonable (#4) en Steve Awodey la Categoría de la Teoría del libro, el capítulo presenta la teoría de grupo con la ayuda de la categoría de teoría. Awodey es una filosofía prof CMU, lo que probablemente explica por qué puso un capítulo en su libro; el público objetivo no se supone que primero se aprende teoría de grupos como las matemáticas o industriales normalmente. Una versión de ese capítulo (probalby la que apareció en la primera edición del libro) está disponible libremente en un bloque de hormigón de la clase de la página web.

Answer 4

Hay dos libros en los que el enlace de la categoría de la teoría y la teoría de grupos a través de la utilización de groupoids. Un pionero en esto fue Felipe Higgins, cuya 1971 van Nostrand Notas están ahora disponibles como descarga gratuita como Categorías y Groupoids. Siguientes Felipe de plomo me puse a investigar groupoids en $1$-dimensiones homotopy teoría en 1965, y concluyó que la groupoid punto de vista, hizo que muchos las cosas más claras. El libro que publicó en 1968, está ahora en su tercera edición y está disponible como Topología y Groupoids. Una herramienta clave fue fundamental groupoid $\pi_1(X,A)$ sobre un conjunto $A$ de los puntos de base, elegidos de acuerdo a la geometría. Los anteriores son la única topología de textos en inglés con este concepto. Un mathoverview discusión sobre este tema es de aquí, y una bastante reciente presentación en el fondo de la topología algebraica se dio en el condado de Galway , en diciembre pasado.

Una característica de estos libros es el uso de la siguiente construcción. Deje $G$ ser un groupoid con objeto de establecer $X$ y deje $f:X \to Y$ ser una función a un conjunto $Y$. A continuación, se obtiene una nueva groupoid que puede ser escrito $U_f(G)$ con objeto de establecer $Y$ y un agradable universal de los bienes. A partir de esto se puede deducir que la construcción de co-productos de los grupos y de la libre y grupos gratis groupoids. Esto va un largo camino para cubrir el punto 2 de @duende comentario. Por lo tanto hay una combinatoria groupoid la teoría de que, en principio, incluye combinatoria, teoría de grupos.