¿Cómo demostrar que una secuencia de variables aleatorias independientes no convergen casi con seguridad por definición?

Question

Tengo una secuencia de variables aleatorias independientes $X_1, X_2, \ldots$ donde

$$ X_n = \begin{cases} 1 & \quad \text{with probability} \ 1/n \\ 0 & \quad \text{with probability} \ 1-1/n \end{cases} $$

En mi libro, afirma que mientras $X_n \to 0$ en probabilidad, no es cierto casi con seguridad. El libro da un breve resumen de la prueba, pero no estoy seguro de que sea correcta. Escribe que: para $0 < \epsilon <1$ , $P\left(\bigcup_{m=n}^\infty \{|X_m - X| > \delta\}\right) = 1- \lim_{n \to \infty}P(X_m = 0 \ \forall m \text{ s.t. } n \leq m)$ . No estoy seguro de por qué esta línea puede mostrar esa convergencia casi segura a $0$ no es posible.

La definición de convergencia casi segura que tomo es ser: $\forall \epsilon, \delta >0, \exists n_0=n_0(\epsilon, \delta) \text{ s.t. } P(\bigcup_{m=n}^\infty \{|X_m -X|> \delta\})\leq \epsilon$ . ¿Puede alguien decirme qué pretende mostrar la línea del autor? Gracias

Answer 1

Que una secuencia de miembros de $\{0,1\}$ se acerca a $0$ significa que después de un número finito de términos siempre es $0$ .

Para $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ para converger casi con seguridad a $0$ tendría que ser el caso de que $$ P( \text{for some finite number } N, \text{ for all } n\ge N,\ X_n=0) = 1. $$

El segundo lema de Borel-Cantelli nos dice que eso sólo ocurre si $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n<\infty$ pero sabemos que eso es falso.