Derivada de la norma en los espacios de Banach

Question

Estaba mirando este y vio que el autor utilizó la desigualdad

$$\frac{d}{dt}||x(t)||\leq ||x'(t)||$$ donde $x:[a,b]\to X$ es una función de la clase $C^1$ y $X$ es un espacio de Banach. Puedo demostrar fácilmente la desigualdad si hay un producto interno involucrado (Usando Cauchy-Schwarz), pero en general, al ser un espacio de Banach, puede que no lo haya.

¿Cómo puedo demostrar la desigualdad si $X$ no es un espacio de Hilbert, es decir, la norma no tiene un producto interno asociado? ¿Es mucho más difícil? ¿Es realmente cierto? O... ¿cómo puedo definir la derivada de la norma si no hay producto interior asociado?

Answer 1

Suponiendo que la derivada del lado izquierdo existe, es el límite de

$$\frac{||x(t+d)||-||x(t)||}{d}$$

El numerador es inferior a $||x(t+d)-x(t)||$ por lo que el valor absoluto de la fracción está limitado por $||\frac{x(t+d)-x(t)}{d}||$ .

que converge a la norma de la derivada de x.

Answer 2

Sugerencia: utilice $$ \|x(t+h)\|-\|x(t)\|\le\|x(t+h)-x(t)\| $$ y la definición de derivada.