una función suryectiva es cerrada si mapea conjuntos de Borel a conjuntos de Borel

Question

Dejemos que $X$ , $Y$ sean espacios topológicos, y $f:X\rightarrow Y$ surjective. ¿Por qué $f$ ¿es cerrado si y sólo si la imagen de cualquier conjunto de Borel es un conjunto de Borel? Para una dirección, sería claramente suficiente demostrar que, si $f$ es cerrado, la imagen de cualquier conjunto abierto es Borel, pero no sé cómo proceder a partir de ahí. Para la otra dirección, no tengo ni idea de cómo proceder.

Answer 1

Esa afirmación es descaradamente falsa. Dejemos que $f(x)=1/x$ si $x \neq 0$ y 1 si $x=0$ . Entonces $f$ mapea conjuntos de Borel a conjuntos de Borel pero $f$ no está cerrado.