Se forman n parejas de n chicas y n chicos al azar. Cuál es la probabilidad de que cada pareja esté formada por un chico y una chica?
Respuestas
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Oli
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Alinea a las chicas, digamos por número de estudiante, y deja que elijan una pareja de una en una. La probabilidad de que la primera chica elija a un chico es $\frac{n}{2n-1}$ . Dado que ella elige un chico, la probabilidad de que la segunda chica elija un chico es $\frac{n-1}{2n-3}$ .
Dado que el primer $2$ las chicas eligen cada una un chico, la probabilidad de que la tercera chica elija un chico es $\frac{n-2}{2n-5}$ . Y así sucesivamente. Ahora toma el producto.
Observación: La respuesta puede ser más compacta. En la parte inferior tenemos $(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots (1)$ . Esto es $\frac{(2n)!}{2^n n!}$ Por lo tanto, una forma alternativa de la respuesta es $\frac{2^n (n!)^2}{(2n)!}$ .
Connor Harris
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132
Podemos pensar en cada ordenamiento de los enteros $1, \ldots, n$ como un emparejamiento de chicos con chicas: si las chicas y los chicos están numerados, el chico 1 se empareja con la primera chica de la lista, el chico 2 con la segunda, etc. Hay $n!$ formas de organizar $n$ enteros.
Para calcular el número de emparejamientos posibles en total, numere los chicos con los números impar $1, 3, \ldots, 2n-1$ y las chicas con los números pares $2, 4, \ldots, n$ . Podemos hacer cualquiera de los $(2n)!$ formas de ordenar los números $1, \ldots, 2n$ en un emparejamiento insertando paréntesis alrededor de cada par de elementos; por ejemplo $1, 4, 2, 6, 3, 5$ se convierte en $(1, 4), (2, 6), (3, 5)$ . Por supuesto, esto equivale a $(2, 6), (1, 4), (3, 5)$ y otros cuatro listados de los mismos pares, y en general cualquier lista de pares tiene $n!$ reordenamientos, por lo que el número total de emparejamientos posibles es $(2n)!/n!$ .
Uniendo estos resultados, obtenemos que la probabilidad deseada es $(n!)^2/(2n)! = \binom{2n}{n}^{-1}$ .
