Sustitución integral simple

Question

Me quedé atascado probando que si $x=\tan\left(\theta\right)$ entonces $$ \int_{0}^{1}\left(1 - x^{2}\right)^n\,{\rm d}x ={1 \over \sqrt 2} \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n+1}\left(\theta\right)\,{\rm d}\theta\,, \qquad\Re\left(n\right) > -2 $$

Gracias.

Answer 1

Cuando veas una diferencia de cuadrados en una integral, suele ser bueno simplificar los cuadrados utilizando el teorema de Pitágoras. Como $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ tenemos $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ . Ahora $1 - \sin^2\theta$ es una diferencia de cuadrados, y se parece mucho a nuestra integral.

Así que realmente deberíamos hacer la sustitución $x = \sin\theta$ . Haciendo esta sustitución se obtiene

$$\begin{align} \int_0^1 (1 - x^2)^n dx &= \int_0^{\pi/2}(1 - \sin^2\theta)^n\cos\theta d\theta \\ &= \int_0^{\pi/2} \cos^{n+1}\theta d\theta, \end{align}$$ que es la forma corregida que estabas buscando.