La ecuación de Liouville y la jerarquía BBGKY.

Question

El Ecuación de movimiento de Liouville se escribe en términos de un $N$ distribución de partículas $f_N$ . \begin {Ecuación} \frac { \partial f_N}{ \partial t}={H,f_N\} \end {ecuación} Donde $\{\cdot ,\cdot \}$ es el Soporte de Poisson y $f_N=f_N(q_1,\dots ,q_N,p_1,\dots ,p_N)$ . Definamos ahora un $n$ función de distribución de probabilidad de las partículas $f_n$ con $n< N$ . \begin {Edición} f _n(q_1, \dots q_n,p_1, \dots p_n,t)= \frac {N!}{(N-n)!} \int \prod ^N_{i=n+1}d q^id p_if_{N+1}( q_1, \dots ,q_{N+1},p_1 , \dots ,p_{N+1},t) \end {ecuación} Ahora $f_n$ se satisface, \begin {Ecuación} \frac { \partial f _n}{ \partial t}={H_n,f_n}+ \sum ^n_{i=1} \int dq_{n+1}dp_{n+1} \frac { \partial U(q_i-q_{n+1})}{ \partial q_i} \frac { \partial f _{n+1}}{ \partial p_i}seremos capaces de hacer que la gente se sienta mejor. \end {Ecuación} Con la $n$ -cuerpo hamiltoniano $H_n$ , \begin {Ecuación} H_n= \sum ^n_{i=1} \bigg ( \frac {p_i^2}{2m}+U(q_i) \bigg )+ \sum _{i<j \leq n}U(q_{ij}) \end {ecuación} Y $q_{ij}=q_i-q_j$ . Aquí $(*)$ es el Jerarquía BBGKY . Estoy leyendo lo siguiente notas .

A pesar de leer las notas enlazadas y las páginas de wikipedia, etc., me cuesta entender cómo se relaciona la jerarquía BBGKY con la ecuación de Liouville. En particular tomando $n=N$ no regenera (a mi ingenuo entender) la ecuación de Liouville. ¿Por qué no exigimos $f_{N+1}$ en la ecuación de Liouville por la lógica del $n$ función de distribución de partículas? Por último, ¿se define la ecuación de Boltzmann para $f_N$ o $f_1$ (¿o es irrelevante, la ecuación se mantiene en cualquier caso?).

Se agradece mucho cualquier ayuda sobre el formalismo de la BBGKY.

Answer 1

La ecuación de Liouville para el $N$ sistema de partículas, describe la evolución temporal de la densidad de probabilidad de N partículas en el espacio de fase, que también se puede reescribir con el operador de Liouville: $f^{N}(t)= e^{-iLt}f^{N}(0).$ Ahora casi siempre estamos interesados en un subconjunto más pequeño de sólo $n$ para lo cual hay que definir un reducido función de distribución del espacio de fase, obtenida mediante la integración de los grados de libertad restantes ( $6(N-n)).$ Así que el reducido $f^n$ tiene la forma: $$ f^n (\mathbf{r}^n,\mathbf{p}^n,t) = \frac{N!}{(N-n)!}\int f^N(\mathbf{r}^N,\mathbf{p}^N,t)d\mathbf{r}^{N-n}d\mathbf{p}^{N-n} $$ Para nuestros propósitos aquí, derivar una ecuación de movimiento para $f^n,$ Consideremos un hamiltoniano general más simple: $$ \frac{\partial H}{\partial \mathbf{r}_i}=-\mathbf{X}_i-\sum_{j=1}^{N}\mathbf{F}_{ij} $$ Con $\mathbf{X}$ denota las fuerzas externas debidas a un campo externo y $\mathbf{F}_{ij}$ una interacción interparticular por pares. Insertando en la ecuación de Liouville, para $f^N,$ con un ligero reordenamiento: $$ \left(\frac{\partial}{\partial t}+\sum_{i=1}^{N}\frac{\mathbf{p}_i}{m}\frac{\partial}{\partial\mathbf{r}_i}+\sum_{i=1}^N \mathbf{X}_i\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i}\right)f^N=-\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\mathbf{F}_{ij}\frac{\partial f^N}{\partial \mathbf{p}_i} $$ Ahora bien, al integrar fuera los indeseados $6(N-n)$ grados de libertad, obtenemos: $$ \left(\frac{\partial}{\partial t}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\mathbf{p}_i}{m}\frac{\partial}{\partial\mathbf{r}_i}+\sum_{i=1}^n \mathbf{X}_i\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i}\right)f^n=-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{F}_{ij}\frac{\partial f^n}{\partial \mathbf{p}_i}- \underbrace{\frac{N!}{(N-n)!}\sum_{i=1}^n \sum_{j=n+1}^N \iint \mathbf{F}_{ij} \frac{\partial f^N}{\partial \mathbf{p}_i} d\mathbf{r}^{N-n}}_{(*)} d\mathbf{p}^{N-n} $$ Obsérvese que todos los términos con $i>n$ han desaparecido, para garantizar una función de densidad válida $f^n$ para el subespacio. Trabajando con partículas idénticas aquí, sabemos $f^N$ es simétrica con respecto al intercambio de etiquetas de partículas individuales y la segunda suma en $(*)$ de $n+1$ a $N$ puede ser sustituido por $N-n$ veces el valor de cualquier término (partículas idénticas). Con esta simplificación podemos reescribir la ecuación anterior como $$ \left(\frac{\partial}{\partial t}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\mathbf{p}_i}{m}\frac{\partial}{\partial\mathbf{r}_i}+\sum_{i=1}^n \left(\mathbf{X}_i +\sum_{j=1}^n \mathbf{F}_{ij}\right)\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i}\right)f^n=-\sum_{i=1}^n \iint \mathbf{F}_{i,n+1} \frac{\partial f^{n+1}}{\partial \mathbf{p}_i} d\mathbf{r}_{n+1} d\mathbf{p}_{n+1} $$ Hemos derivado la jerarquía BBGKY, para un Hamiltoniano relativamente menos general. Pero hay que tener en cuenta que es una exactamente expresión tal cual, vinculando la densidad del espacio de fase de una partícula a la densidad de dos partículas, que a su vez vinculó la de tres partículas... hasta llegar a la densidad del espacio de fase de N partículas. Aunque dicha expresión no se presta a mucho uso en la práctica (por un lado, no conocemos ninguna de las $f^n$ ), puede ser útil proporcionando alguna forma de relación de cierre, es decir, sin una relación de cierre, todo lo que hace BBGKY es: expresar una función de densidad desconocida $f^n$ en términos de otra incógnita $f^{n+1}.$ Sin embargo, no representa una formulación equivalente de la ecuación de Liouville para $f^N$ cuando se establece $n=N$ , sólo te da un enlace con la función de densidad de los subespacios de N, que todavía no conoces. Si no se proporciona ningún cierre, ¡la BBGKY no es realmente útil! Echa un vistazo al libro de JP Hansen y IR McDonald para una cobertura más profunda.