Dejemos que $f:[0,1]\to [-1,1]$ sea arbitraria y defina $g(x)=\sup\limits_{a\leq t\leq x}|f(t)|.$ Debe $g$ sea integrable de Riemann?

Question

Dejemos que $f:[0,1]\to [-1,1]$ sea arbitraria y defina $g(x)=\sup\limits_{a\leq t\leq x}|f(t)|.$ Debe $g$ sea integrable de Riemann?

Soy de la opinión de que $g$ no es integrable de Riemann pero no encuentro un ejemplo concreto. ¿Alguna ayuda por ahí?

Answer 1

La función $g$ es una función creciente. Y una monótona definida en un intervalo cerrado y acotado es siempre Riemann-integrable. Por ejemplo, sólo tiene un número contable de puntos de discontinuidad y, por tanto, el conjunto de puntos de discontinuidad tiene una medida de Lebesgue igual a $0$ .