encontrar el producto de $z_1z_2z_3$ si $(z+m)^3=-27i$

Question

en números complejos, si:

$(z+m)^3=-27i$

Necesidad de encontrar el término $z_1z_2z_3$ y el término $z_1+z_2+z_3$ por $m$ .

Mientras que $z_1,z_2,z_3$ son las raíces de la ecuación.

Intenté simplificar pero se hizo un lío. pensé en las fórmulas vieta pero no aprendimos eso para las ecuaciones cúbicas ¿tal vez se pueda hacer sin eso?

Gracias

Answer 1

Su ecuación cúbica es

$$z^3 +3mz^2 +3m^2z + m^3 = -27i$$

o

$$z^3 +3mz^2 +3m^2z + m^3 +27i = 0$$

La suma de las raíces es entonces $-3m$ y el producto de las 3 raíces es $-m^3-27i$

Incluso si no estás seguro de las fórmulas de Vieta, puedes ver esto muy fácilmente comparando con la expansión de $$(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)$$