Ejemplos de problemas de transformación lineal

Question

Supongamos que T es una transformación lineal. Encuentra la matriz estándar de T. $T:\mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}^2$ refleja primero los puntos a través de la línea $x_2$ = $x_1$ y luego refleja los puntos a través de la horizontal $x_1$ -eje.

Mi Solución , que es incorrecta :- La matriz estándar para la reflexión a través de la línea $x_2$ = $x_1$ es \begin {bmatrix}0&1 \\1 &0 \end {bmatrix}

La matriz estándar para la reflexión a través de la horizontal $x_1$ -El eje es : \begin {bmatrix}1&0 \\0 &-1 \end {bmatrix}

Al multiplicar esto obtenemos : \begin {bmatrix}0&-1 \\1 &0 \end {bmatrix}

Esta respuesta se rechaza. ¿Pueden aconsejarme qué estoy haciendo mal? Gracias.

Answer 1

La tarea es sencilla

Dejemos que $B$ sea la matriz de la transformación que refleja un punto sobre la recta $x_2=x_1$ . Entonces $$B = \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$$

Dejemos que $A$ sea la matriz de la transformación que refleja un punto sobre el $x_1$ -eje. Entonces $$A = \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$$ La matriz de la transformación que refleja primero un punto sobre la línea $x_2=x_1$ y luego refleja el resultado sobre el $x_1$ -El eje es sólo $$AB = \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$$

Para probarlo, dejemos que $v={\displaystyle{\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}}}$ .

Primero aplica las transformaciones a mano. . .

• Comience con $$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}$$
• A continuación, reflexiona sobre la línea $x1=x2$ : $$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}x_2\\x_1\end{bmatrix}$$
• A continuación, refleje el resultado anterior sobre el $x_1$ -eje: $$\begin{bmatrix}x_2\\x_1\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}x_2\\-x_1\end{bmatrix}$$

A continuación, compruebe si $(AB)v$ da el mismo resultado: $$(AB)v = \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_2\\-x_1\end{bmatrix}$$ para que lo compruebe.