¿Demostrar que el producto punto es distributivo?

Question

Sé que se puede demostrar que el producto punto, tal como se define "algebraicamente", es distributivo. Sin embargo, para demostrar la fórmula algebraica del producto punto, hay que utilizar la propiedad distributiva en la definición geométrica. ¿Cómo se puede demostrar, geométricamente, que para los vectores euclidianos $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ , $$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})?$$

Answer 1

Para demostrar que la definición geométrica del producto punto (bidimensional) es distributiva, utilizamos el siguiente diagrama:

$\hspace{4.5 cm}$

Tenga en cuenta que (siempre que $A$ es distinto de cero) $$ \|B_A\| = \frac{B \cdot A}{\|A\|}\\ \|C_A\| = \frac{C \cdot A}{\|A\|}\\ \|B_A + C_A\| = \frac{(B + C) \cdot A}{\|A\|} $$ Del diagrama se desprende que $$ \frac{(B + C) \cdot A}{\|A\|} = \|B_A + C_A\| = \|B_A\| + \|C_A\| = \frac{B \cdot A}{\|A\|}+ \frac{C \cdot A}{\|A\|} $$ la distributividad del producto-punto es la siguiente. ${}$

Answer 2

Esta demostración es para el caso general que considera vectores no coplanares:

Basta con demostrar que la suma de las proyecciones individuales de los vectores b y c en la dirección del vector a es igual a la proyección de la suma de vectores b+c en dirección a a .

Como se muestra en la figura siguiente, los vectores no coplanares considerados pueden ser llevados a la siguiente disposición dentro de un cilindro suficientemente grande "S" que corre paralelo al vector a . He coloreado los vectores de forma diferente sólo para indicar que no tienen por qué estar en el mismo plano.

Obsérvese que la proyección del vector b en dirección a a es exactamente el la distancia (llámese XY) entre los dos "círculos cruzados" azules X (que contiene la cola de b ) y Y (que contiene la cabeza de b ) . Esto se puede ver claramente cuando el vector b se traslada en el espacio de forma que su cola se sitúe en el eje del cilindro. Por "círculos transversales" se entiende los círculos paralelos a la base del cilindro y perpendiculares a su eje.

Del mismo modo, YZ es la proyección de c en dirección a a porque los círculos transversales Y y Z contienen la cola y la cabeza de c respectivamente. Además, XZ es la proyección de la suma de vectores b+c en dirección a a .

Es evidente que XY + YZ = XZ, que era lo que queríamos demostrar.