Dados distintos primos $p$ y $q$ , $$\frac{p^{\,q} - 1}{p - 1}$$ nunca es un divisor de $$\frac{q^{\,p} - 1}{q - 1}.$$ O eso creemos. Si $p = 2$ entonces está claro que ningún impar prime $q$ puede hacer un contraejemplo. Si $p = 3$ entonces tenemos $$\frac{3^q - 1}{2}$$ y $$\frac{q^3 - 1}{q - 1}.$$ Confío en que con el tiempo pueda demostrar que tampoco hay ningún contraejemplo en este caso, pero desde luego es bastante laborioso ir recorriendo los primos uno a uno. ¿Alguien ha sido capaz de descartar un montón de primos a la vez?
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En primer lugar, hay que tener en cuenta que $(3^q-1)(q-1)>2(q^3-1)$ por cada $q>3$ . Esto se debe a que $3$ es el punto de encuentro de las dos líneas, y $3^q$ crece más rápido que $q^3$ .
Ahora, simplemente dejamos que $q$ y $n$ sean primos y naturales (respectivamente) tales que $n(\frac{3^q-1}{2})=\frac{q^3-1}{q-1}$ .
Entonces, $n(3^q-1)=2(\frac{q^3-1}{q-1})$ y por lo tanto $n(3^q-1)(q-1)=2(q^3-1)$ . Esto significa que $q\leq3$ . Por supuesto, dado que la ecuación final también es válida para ambos $2$ y $3$ Esto significa que no hay números mayores que 3 en los que esto sea cierto. Por lo tanto, no hay contraejemplos.
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Parece que para impar $a$ tenemos $\dfrac{(6x+1)^a-1}{6x}\equiv a\bmod6$ y $\dfrac{(6x-1)^a-1}{6x-2}\equiv 1\bmod6$ lo que implicaría, por ejemplo, que $p\equiv q\bmod6$ para $p,q>3$ .
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Por medios elementales si $ p=3<q$ es un contraejemplo entonces $ r=q^2+q+1$ también es primo y $3^q-1$ es divisible por $ r$ .
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a) Hmm, en la wikipedia se centran divisibilidad de una expresión ciclotómica por la otra (y no se conoce ningún contraejemplo) y en el mundo matemático de Weissstein se centran en factores comunes (gcd()) y documentar un caso conocido como contraejemplo. ¿Cuál es la conjetura original de Feit-Thompson? b) ¿Cómo debería $(q^3-1)/(q-1)$ sea divisible por $(3^q-1)/(3-1)$ cuando $q$ es mayor que $3$ ? ¿No confundiste el sentido de la divisibilidad aquí?
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Ah, he encontrado en el artículo de wp-linked Feit, Walter, y John G. Thompson. "Un criterio de resolubilidad para grupos finitos y algunas consecuencias". que $p \gt q$ se asumió y divisibilidad se centró.