Examinar si para cualquier valor $\alpha > 0$ límite en $0$ existe y es $\in \mathbb{R}$ .
$$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{x^{\alpha}}$$
Ahora bien, sé que no lo hace desde el plotter, pero ¿cómo puedo comprobarlo a partir de la expresión anterior? Cuando he comprobado para qué parámetros la serie es convergente he utilizado pruebas / criterios. Pero aquí no tengo nada de eso. Sé que la expresión es una variedad de un límite común:
$$\lim_{x \to 0} \frac{a^{x}-1}{x} = \ln a$$
Pero además, el único valor de $\alpha$ para el que eso funcionaría es $-1$ y sabemos que $\alpha > 0$ . Entonces, mi pregunta es, cómo demostrar formalmente que no existe tal $\alpha$ ?
